Question Number 74017 by mathmax by abdo last updated on 17/Nov/19
$${let}\:{f}\left({x}\right)=\int_{{x}} ^{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}} \:{e}^{−{xt}} \:{ln}\left(\mathrm{1}+{e}^{−{xt}} \right){dt}\:\:\:\:{with}\:{x}>\mathrm{0} \\ $$$$\left.\mathrm{1}\right)\:{calculate}\:{f}\left({x}\right) \\ $$$$\left.\mathrm{2}\right){find}\:\:{lim}_{{x}\rightarrow+\infty} {f}\left({x}\right). \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 17/Nov/19
$$\left.\mathrm{1}\right)\:{calculate}\:{f}^{'} \left({x}\right) \\ $$
Commented by mind is power last updated on 17/Nov/19
$$\mathrm{u}=\mathrm{xt}\Rightarrow\mathrm{du}=\mathrm{xdt} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\int_{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } ^{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3x}} \mathrm{e}^{−\mathrm{u}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{e}^{−\mathrm{u}} \right)\mathrm{du} \\ $$$$\int\mathrm{e}^{−\mathrm{u}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{e}^{−\mathrm{u}} \right)\mathrm{du} \\ $$$$=−\mathrm{e}^{−\mathrm{u}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{e}^{−\mathrm{u}} \right)−\int\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{2u}} }{\mathrm{1}+\mathrm{e}^{−\mathrm{u}} }\mathrm{du} \\ $$$$=−\mathrm{e}^{−\mathrm{u}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{e}^{−\mathrm{u}} \right)−\int\frac{\left(\mathrm{e}^{−\mathrm{u}} +\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{e}^{−\mathrm{u}} −\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{e}^{−\mathrm{u}} \right)}−\int\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{u}} }{\mathrm{e}^{\mathrm{u}} +\mathrm{1}}\mathrm{du} \\ $$$$=−\mathrm{e}^{−\mathrm{u}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{e}^{−\mathrm{u}} \right)+\int\left(−\mathrm{e}^{−\mathrm{u}} +\mathrm{1}\right)\mathrm{du}−\mathrm{ln}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{u}} +\mathrm{1}\right) \\ $$$$=−\mathrm{e}^{−\mathrm{u}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{e}^{−\mathrm{u}} \right)+\mathrm{e}^{−\mathrm{u}} +\mathrm{u}−\mathrm{ln}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{u}} +\mathrm{1}\right)+\mathrm{c} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\left\{\left[−\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3x}\right)} \mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{e}^{−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3x}} \right)+\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3x}\right)} +\left(\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3x}\right)−\mathrm{ln}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3x}} +\mathrm{1}\right)\right]\right. \\ $$$$\left.+\left.\mathrm{e}^{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{e}^{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \right)−\mathrm{e}^{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } −\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{ln}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } +\mathrm{1}\right)\right)\right] \\ $$$$\mathrm{lim}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{0} \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 21/Nov/19
$$\left.\mathrm{1}\right)\:{we}\:{have}\:{f}\left({x}\right)=\int_{{x}} ^{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}} \:{e}^{−{xt}} {ln}\left(\mathrm{1}+{e}^{−{xt}} \right){dt}\:\:\:\left({x}>\mathrm{0}\right)\:{changement} \\ $$$${xt}={u}\:{give}\:{f}\left({x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{{x}}\int_{{x}^{\mathrm{2}} } ^{{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}{x}} \:{e}^{−{u}} {ln}\left(\mathrm{1}+{e}^{−{u}} \right){du}\:\Rightarrow \\ $$$${xf}\left({x}\right)=\int_{{x}^{\mathrm{2}} } ^{{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}{x}} \:{e}^{−{u}} {ln}\left(\mathrm{1}+{e}^{−{u}} \right){dy}\:=_{{bypsrts}} \:\:\left[−{e}^{−{u}} {ln}\left(\mathrm{1}+{e}^{−{u}} \right)\right]_{{x}^{\mathrm{2}} } ^{{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}{x}} \\ $$$$−\int_{{x}^{\mathrm{2}} } ^{{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}{x}} \:\left(−{e}^{−{u}} \right)×\frac{−{e}^{−{u}} }{\mathrm{1}+{e}^{−{u}} }\:{du}\:={e}^{−{x}^{\mathrm{2}} } {ln}\left(\mathrm{1}+{e}^{−{x}^{\mathrm{2}} } \right) \\ $$$$−{e}^{−\left({x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}{x}\right)} {ln}\left(\mathrm{1}+{e}^{−\left({x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}{x}\right)} \right)\:\:\:+\int_{{x}^{\mathrm{2}} } ^{{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}{x}} \:\:\frac{{e}^{−\mathrm{2}{u}} }{\mathrm{1}+{e}^{−{u}} }{du}\:\:{we}\:{have} \\ $$$$\int_{{x}^{\mathrm{2}} } ^{{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}{x}} \:\:\frac{{e}^{−\mathrm{2}{u}} }{\mathrm{1}+{e}^{−{u}} }{du}\:=\int_{{x}^{\mathrm{2}} } ^{{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}{x}} \:\:\frac{\mathrm{1}}{{e}^{\mathrm{2}{u}} \:+{e}^{{u}} }{du}\:=_{{e}^{{u}} ={z}} \:\:\:\int_{{e}^{{x}^{\mathrm{2}} } } ^{{e}^{{x}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{3}{x}} } \:\frac{\mathrm{1}}{{z}^{\mathrm{2}} +{z}}\frac{{dz}}{{z}} \\ $$$$=\:\int_{{e}^{{x}^{\mathrm{2}} } } ^{{e}^{{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}{x}} } \:\:\:\frac{{dz}}{{z}^{\mathrm{2}} \left({z}+\mathrm{1}\right)}\:\:{decomposition}\:{of}\:{F}\left({z}\right)=\frac{\mathrm{1}}{{z}^{\mathrm{2}} \left({z}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$${F}\left({z}\right)=\frac{{a}}{{z}}\:+\frac{{b}}{{z}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{{c}}{{z}+\mathrm{1}} \\ $$$${b}=\mathrm{1}\:\:\:\:,\:\:{c}=\mathrm{1}\:\Rightarrow{F}\left({z}\right)=\frac{{a}}{{z}}\:+\frac{\mathrm{1}}{{z}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{{z}+\mathrm{1}} \\ $$$${lim}_{{z}\rightarrow+\infty} {zF}\left({z}\right)=\mathrm{0}={a}+{c}\:\:\Rightarrow{a}=−{c}=−\mathrm{1}\:\Rightarrow{F}\left({z}\right)=−\frac{\mathrm{1}}{{z}}+\frac{\mathrm{1}}{{z}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{{z}+\mathrm{1}} \\ $$$$\int_{{e}^{{x}^{\mathrm{2}} } } ^{{e}^{{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}{x}} } \:\:\:\:\frac{{dz}}{{z}^{\mathrm{2}} \left({z}+\mathrm{1}\right)}\:=\left[{ln}\mid\frac{{z}+\mathrm{1}}{{z}}\mid\right]_{{e}^{{x}^{\mathrm{2}} } } ^{{e}^{{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}{x}} } \:+\left[−\frac{\mathrm{1}}{{z}}\right]_{{e}^{{x}^{\mathrm{2}} } } ^{{e}^{{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}{x}} } \\ $$$$={ln}\left(\frac{\mathrm{1}+{e}^{{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}{x}} }{{e}^{{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}{x}} }\right)−{ln}\left(\frac{\mathrm{1}+{e}^{{x}^{\mathrm{2}} } }{{e}^{{x}^{\mathrm{2}} } }\right)+\left({e}^{−{x}^{\mathrm{2}} } −{e}^{−\left({x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}{x}\right)} \right)\:\Rightarrow \\ $$$${f}\left({x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{{x}}\left\{{e}^{−{x}^{\mathrm{2}} } {ln}\left(\mathrm{1}+{e}^{−{x}^{\mathrm{2}} } \right)−{e}^{−\left({x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}{x}\right)} {ln}\left(\mathrm{1}+{e}^{−\left({x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}{x}\right)} \right)\right. \\ $$$$\left.{ln}\left(\frac{\mathrm{1}+{e}^{{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}{x}} }{{e}^{{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}{x}} }\right)−{ln}\left(\frac{\mathrm{1}+{e}^{{x}^{\mathrm{2}} } }{{e}^{{x}^{\mathrm{2}} } }\right)\:+{e}^{−{x}^{\mathrm{2}} } −{e}^{−\left({x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}{x}\right)} \right\} \\ $$$$\left.\mathrm{2}\right)\:{lim}_{{x}\rightarrow+\infty} \:\:\:\:{f}\left({x}\right)=\mathrm{0} \\ $$