Menu Close

let-U-n-cos-nx-x-2-x-1-2-dx-calculate-lim-n-e-n-2-U-n-

Tinku Tara 0 Comments
Pin




Question Number 135777 by mathmax by abdo last updated on 15/Mar/21
let U_n =∫_(−∞) ^(+∞) ((cos(nx))/((x^2 −x+1)^2 ))dx calculate lim_(n→+∞) e^n^2 U_n
$$\mathrm{let}\:\mathrm{U}_{\mathrm{n}} =\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{cos}\left(\mathrm{nx}\right)}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\:\mathrm{calculate}\:\mathrm{lim}_{\mathrm{n}\rightarrow+\infty} \mathrm{e}^{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} } \mathrm{U}_{\mathrm{n}} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 16/Mar/21
U_n =Re(∫_(−∞) ^(+∞) (e^(inx) /((x^2 −x+1)^2 ))) let w(z)=(e^(inz) /((z^2 −z+1)^2 )) z^2 −z+1=0→Δ=−3 ⇒z_1 =((1+i(√3))/2)=e^((iπ)/3) and z_2 =e^(−((iπ)/3)) ⇒ w(z)=(e^(inz) /((z−e^((iπ)/3) )^2 (z−e^(−((iπ)/3)) )^2 )) and ∫_(−∞) ^(+∞) W(z)dz =2iπ Res(w,e^((iπ)/3) ) Res(w,e^((iπ)/3) ) =lim_(z→e^((iπ)/3) ) (1/((2−1)!)){ (e^(inz) /((z−e^(−((iπ)/3)) )^2 ))}^((1)) =lim_(z→e^((iπ)/3) ) {((ni e^(inz) (z−e^(−((iπ)/3)) )^2 −2(z−e^(−((iπ)/3)) )e^(inz) )/((z−e^(−((iπ)/3)) )^4 ))} =lim_(z→e^((iπ)/3) ) (((ni(z−e^(−((iπ)/3)) )−2)e^(inz) )/((z−e^(−((iπ)/3)) )^3 )) =((ni(2isin((π/3))−2)e^(in((1/2)+i((√3)/2))) )/((2isin((π/3)))^3 )) =((ni(i(√3)−2)e^(−((n(√3))/2)) (cos((n/2))+isin((n/2))))/(−8i(((√3)/2))^3 )) =(((−n(√3)−2ni)e^(−((n(√3))/2)) (.....))/(−i3(√3))) =−i(((n(√3)+2in)e^(−((n(√3))/2)) {cos((n/2))+isin((n/2))})/(3(√3))) ⇒ ∫_R w(z)dz =((2π)/(3(√3)))×(n(√3)+2in)e^(−((n(√3))/2)) {cos((n/2))+isin((n/2))} =((2π)/(3(√3))) e^(−((n(√3))/2)) {n(√3)cos((n/2))+in(√3)sin((n/2))+2incos((n/2))−2nsin((n/2))} U_n =Re(∫_R w(z)dz) =((2π)/(3(√3)))e^(−((n(√3))/2)) (n(√3)cos((n/2))−2nsin((n/2))) =((2nπ)/(3(√3)))e^(−((n(√3))/2)) {(√3)cos((n/2))−2sin((n/2))} and lim e^n^2 U dont exist...!
$$\mathrm{U}_{\mathrm{n}} =\mathrm{Re}\left(\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{inx}} }{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\right)\:\mathrm{let}\:\mathrm{w}\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{inz}} }{\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} −\mathrm{z}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{z}^{\mathrm{2}} −\mathrm{z}+\mathrm{1}=\mathrm{0}\rightarrow\Delta=−\mathrm{3}\:\Rightarrow\mathrm{z}_{\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{1}+\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}=\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \:\mathrm{and}\:\mathrm{z}_{\mathrm{2}} =\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{w}\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{inz}} }{\left(\mathrm{z}−\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{z}−\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{and}\:\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\mathrm{W}\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}\:=\mathrm{2i}\pi\:\mathrm{Res}\left(\mathrm{w},\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right) \\ $$$$\mathrm{Res}\left(\mathrm{w},\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)\:=\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} } \:\:\:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}−\mathrm{1}\right)!}\left\{\:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{inz}} }{\left(\mathrm{z}−\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)^{\mathrm{2}} }\right\}^{\left(\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} } \:\:\:\left\{\frac{\mathrm{ni}\:\mathrm{e}^{\mathrm{inz}} \left(\mathrm{z}−\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left(\mathrm{z}−\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)\mathrm{e}^{\mathrm{inz}} }{\left(\mathrm{z}−\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)^{\mathrm{4}} }\right\} \\ $$$$=\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} } \:\:\:\frac{\left(\mathrm{ni}\left(\mathrm{z}−\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)−\mathrm{2}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{inz}} }{\left(\mathrm{z}−\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{ni}\left(\mathrm{2isin}\left(\frac{\pi}{\mathrm{3}}\right)−\mathrm{2}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{in}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)} }{\left(\mathrm{2isin}\left(\frac{\pi}{\mathrm{3}}\right)\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{ni}\left(\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{2}\right)\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{n}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}} \left(\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{2}}\right)+\mathrm{isin}\left(\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{2}}\right)\right)}{−\mathrm{8i}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$$=\frac{\left(−\mathrm{n}\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{2ni}\right)\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{n}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}} \left(…..\right)}{−\mathrm{i3}\sqrt{\mathrm{3}}} \\ $$$$=−\mathrm{i}\frac{\left(\mathrm{n}\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{2in}\right)\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{n}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}} \left\{\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{2}}\right)+\mathrm{isin}\left(\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{2}}\right)\right\}}{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}}\:\Rightarrow \\ $$$$\int_{\mathrm{R}} \mathrm{w}\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}\:=\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}}×\left(\mathrm{n}\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{2in}\right)\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{n}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}} \left\{\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{2}}\right)+\mathrm{isin}\left(\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{2}}\right)\right\} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}}\:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{n}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}} \left\{\mathrm{n}\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{2}}\right)+\mathrm{in}\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{sin}\left(\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{2}}\right)+\mathrm{2incos}\left(\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{2}}\right)−\mathrm{2nsin}\left(\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{2}}\right)\right\} \\ $$$$\mathrm{U}_{\mathrm{n}} =\mathrm{Re}\left(\int_{\mathrm{R}} \mathrm{w}\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{n}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}} \left(\mathrm{n}\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{2}}\right)−\mathrm{2nsin}\left(\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{2}}\right)\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{2n}\pi}{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{n}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}} \left\{\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{2}}\right)−\mathrm{2sin}\left(\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{2}}\right)\right\} \\ $$$$\mathrm{and}\:\:\mathrm{lim}\:\mathrm{e}^{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} } \mathrm{U}\:\:\mathrm{dont}\:\mathrm{exist}…! \\ $$

Pin

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *