Question Number 72296 by naka3546 last updated on 27/Oct/19
$${Let}\:\:\:\:{x}\:\:=\:\:{f}\left({x}\right)\:{e}^{{f}\left({x}\right)} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\underset{\:\mathrm{0}} {\int}\overset{\:{e}} {\:}{f}\left({x}\right)\:{dx}\:\:=\:\:? \\ $$
Commented by naka3546 last updated on 27/Oct/19
$${e}^{\mathrm{ln}\:{x}} \:\:=\:\:{x} \\ $$
Commented by mr W last updated on 27/Oct/19
Commented by mind is power last updated on 27/Oct/19
$$\mathrm{Sorry}\:\mathrm{sir}\:\:\mathrm{Mr}\:\:\mathrm{W}\:\mathrm{i}\:\mathrm{dealt}\:\mathrm{my}\:\mathrm{communt}\:\mathrm{in}\:\mathrm{same}\:\mathrm{time}\:\:\mathrm{yours} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$
Commented by mr W last updated on 27/Oct/19
$${that}'{s}\:{ok}.\:{i}\:{put}\:{some}\:{material}\:{i}\:{found} \\ $$$${in}\:{wekipedia}. \\ $$
Answered by mind is power last updated on 27/Oct/19
![∫f(x)dx=[xf(x)]−∫xf′(x)dx x=f(x)e^(f(x)) ⇒1=(f′(x)+f′(x).f(x))e^(f(x)) ⇒f′(x)=(1/((1+f(x))e^(f(x)) ))=((f(x))/(x(1+f(x))))⇒xf′(x)=((f(x))/(1+f(x))) ⇒∫f(x)dx=xf(x)−∫((f(x))/(1+f(x)))dx let u=f(x) ⇒du=f′(x)dx=((f(x))/(x(1+f(x))))dx x=f(x)e^(f(x)) =ue^u ⇒du=(u/(ue^u (1+u)))dx⇒dx=((ue^u du)/u).((1+u)/) ∫((f(x))/(1+f(x)))dx=∫(u/(1+u)).((ue^u du)/u).(1+u)=∫ue^u =(u−1)e^u +c =(f(x)−1)e^(f(x)) +c=x−e^(f(x)) +c=x(1−(1/(f(x))))+c ⇒∫f(x)dx=xf(x)−x(1−(1/(f(x))))+c=x(f(x)−1+(1/(f(x))))+c ∫_0 ^e f(x)dx=e(f(e)−1+(1/(f(e)))) f(e)e^(f(e)) =e=1.e^1 ..z f(t)=te^t ⇒f′(t)=(t+1)e^t ≥0 ∀t∈IR^+ f(1)=e⇒xe^x =e⇔x∈{1} z⇒f(e)=1 ∫_0 ^e f(x)dx=e(1−1+(1/1))−lim_(x→0) x(f(x)−1+(1/(f(x)))) (1/(f(x)))=(e^(f(x)) /x) x(f(x)−1+(1/(f(x))))=x(f(x)−1+(e^(f(x)) /x))=x(f(x)−1)+e^(f(x)) lim_(x→0) x(f(x)−1)+e^(f(x)) =e^(f(0)) f(0)e^(f(0)) =0⇒f(0)=0⇒e^(f(0)) =1 ∫_0 ^e f(x)dx=e−1](https://www.tinkutara.com/question/Q72363.png)
$$\int\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\left[\mathrm{xf}\left(\mathrm{x}\right)\right]−\int\mathrm{xf}'\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{x}=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)} \Rightarrow\mathrm{1}=\left(\mathrm{f}'\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}'\left(\mathrm{x}\right).\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)\mathrm{e}^{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{f}'\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)\mathrm{e}^{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)} }=\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}\left(\mathrm{1}+\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)}\Rightarrow\mathrm{xf}'\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)} \\ $$$$\Rightarrow\int\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\mathrm{xf}\left(\mathrm{x}\right)−\int\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{u}=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{du}=\mathrm{f}'\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}\left(\mathrm{1}+\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)}\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{x}=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)} =\mathrm{ue}^{\mathrm{u}} \Rightarrow\mathrm{du}=\frac{\mathrm{u}}{\mathrm{ue}^{\mathrm{u}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{u}\right)}\mathrm{dx}\Rightarrow\mathrm{dx}=\frac{\mathrm{ue}^{\mathrm{u}} \mathrm{du}}{\mathrm{u}}.\frac{\mathrm{1}+\mathrm{u}}{} \\ $$$$\int\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}\mathrm{dx}=\int\frac{\mathrm{u}}{\mathrm{1}+\mathrm{u}}.\frac{\mathrm{ue}^{\mathrm{u}} \mathrm{du}}{\mathrm{u}}.\left(\mathrm{1}+\mathrm{u}\right)=\int\mathrm{ue}^{\mathrm{u}} =\left(\mathrm{u}−\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{u}} +\mathrm{c} \\ $$$$=\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)} +\mathrm{c}=\mathrm{x}−\mathrm{e}^{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)} +\mathrm{c}=\mathrm{x}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}\right)+\mathrm{c} \\ $$$$\Rightarrow\int\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\mathrm{xf}\left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{x}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}\right)+\mathrm{c}=\mathrm{x}\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}\right)+\mathrm{c} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{e}} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\mathrm{e}\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{e}\right)−\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{f}\left(\mathrm{e}\right)}\right) \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{e}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{f}\left(\mathrm{e}\right)} =\mathrm{e}=\mathrm{1}.\mathrm{e}^{\mathrm{1}} ..\mathrm{z} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)=\mathrm{te}^{\mathrm{t}} \Rightarrow\mathrm{f}'\left(\mathrm{t}\right)=\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{t}} \geqslant\mathrm{0}\:\:\forall\mathrm{t}\in\mathrm{IR}^{+} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{e}\Rightarrow\mathrm{xe}^{\mathrm{x}} =\mathrm{e}\Leftrightarrow\mathrm{x}\in\left\{\mathrm{1}\right\} \\ $$$$\mathrm{z}\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{e}\right)=\mathrm{1} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{e}} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\mathrm{e}\left(\mathrm{1}−\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}}\right)−\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} \mathrm{x}\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}\right) \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)} }{\mathrm{x}} \\ $$$$\mathrm{x}\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}\right)=\mathrm{x}\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{1}+\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)} }{\mathrm{x}}\right)=\mathrm{x}\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{1}\right)+\mathrm{e}^{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)} \\ $$$$\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} \mathrm{x}\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{1}\right)+\mathrm{e}^{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)} =\mathrm{e}^{\mathrm{f}\left(\mathrm{0}\right)} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{0}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{f}\left(\mathrm{0}\right)} =\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{e}^{\mathrm{f}\left(\mathrm{0}\right)} =\mathrm{1} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{e}} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\mathrm{e}−\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$
Commented by mr W last updated on 27/Oct/19
$${please}\:{check}\:{again}\:{sir}.\:{the}\:{result} \\ $$$${should}\:{be}\:{e}−\mathrm{1}. \\ $$
Commented by mr W last updated on 27/Oct/19
Commented by mind is power last updated on 27/Oct/19
$$\mathrm{yeah}\:\mathrm{i}\:\mathrm{got}\:\mathrm{it}\:\mathrm{x}\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}\right)\:\mathrm{in}\:\mathrm{0}\:\mathrm{i}\:\mathrm{did}\:\mathrm{zero} \\ $$$$\mathrm{but}\:\mathrm{its}\:\mathrm{not}\left[\mathrm{defind}\:\mathrm{cause}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0}\right. \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{should}\:\mathrm{tack}\:\mathrm{lim} \\ $$