Question Number 4500 by FilupSmith last updated on 02/Feb/16
$$\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\frac{{n}!}{{n}^{{n}} }={L} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Solve}\:\mathrm{for}\:{L} \\ $$
Commented by Yozzii last updated on 02/Feb/16
$${ln}\frac{{n}!}{{n}^{{n}} }={lnn}!−{nlnn}=\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{lni}−\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{lnn} \\ $$$${ln}\frac{{n}!}{{n}^{{n}} }=\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{ln}\frac{{i}}{{n}}={ln}\frac{\mathrm{1}}{{n}}+{ln}\frac{\mathrm{2}}{{n}}+{ln}\frac{\mathrm{3}}{{n}}+…+{ln}\frac{{n}}{{n}} \\ $$$${ln}\frac{{n}!}{{n}^{{n}} }={ln}\frac{\mathrm{1}}{{n}}+{ln}\frac{\mathrm{2}}{{n}}+{ln}\frac{\mathrm{3}}{{n}}+…+{ln}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right) \\ $$$$\therefore\:{lnL}=\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}{ln}\frac{{n}!}{{n}^{{n}} }=\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\left({ln}\frac{\mathrm{1}}{{n}}+{ln}\frac{\mathrm{2}}{{n}}+{ln}\frac{\mathrm{3}}{{n}}+…+{ln}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right)\right) \\ $$$${Let}\:{u}=\mathrm{1}/{n}\Rightarrow{u}\rightarrow\mathrm{0}^{+} \:{as}\:{n}\rightarrow+\infty. \\ $$$$\therefore{lnL}=\underset{{u}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } {\mathrm{lim}}\left({lnu}+{ln}\mathrm{2}{u}+{ln}\mathrm{3}{u}+…+{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{2}{u}\right)+{ln}\left(\mathrm{1}−{u}\right)\right) \\ $$$${lnL}=−\infty−\infty−\infty−\infty+…+\mathrm{0}+\mathrm{0}+\mathrm{0}=−\infty \\ $$$$\therefore{L}={e}^{−\infty} =\mathrm{0} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$
Answered by prakash jain last updated on 02/Feb/16
$$\frac{{n}!}{{n}^{{n}} }=\frac{\mathrm{2}\centerdot…\centerdot{n}}{{n}^{{n}} }\leqslant\frac{{n}^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}^{{n}} }=\frac{\mathrm{1}}{{n}} \\ $$$$\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{1}}{{n}}=\mathrm{0} \\ $$$$\frac{{n}!}{{n}!}\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{hence} \\ $$$$\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\frac{{n}!}{{n}^{{n}} }=\mathrm{0} \\ $$