Question Number 140905 by bramlexs22 last updated on 14/May/21
$$\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}\:\left(\mathrm{tan}\:\mathrm{x}−\mathrm{x}\right)}\:=? \\ $$
Answered by bramlexs22 last updated on 14/May/21
Answered by mathmax by abdo last updated on 14/May/21
$$\mathrm{let}\:\mathrm{L}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}−\mathrm{cos}\left(\mathrm{1}−\mathrm{cosx}\right)}{\mathrm{x}\left(\mathrm{tanx}−\mathrm{x}\right)} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{1}−\mathrm{cosx}\:\sim\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\:\Rightarrow\mathrm{cos}\left(\mathrm{1}−\mathrm{cosx}\right)\sim\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\right)\sim\mathrm{1}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} }{\mathrm{8}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{1}−\mathrm{cos}\left(\mathrm{1}−\mathrm{cosx}\right)\sim\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} }{\mathrm{8}} \\ $$$$\mathrm{tanx}\:\sim\mathrm{x}+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}}\:\Rightarrow\mathrm{tanx}\:−\mathrm{x}\:\sim\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}}\:\Rightarrow\mathrm{x}\left(\mathrm{tanx}−\mathrm{x}\right)\sim\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} }{\mathrm{3}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\sim\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} }{\mathrm{8}}.\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} }\:\Rightarrow\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{8}} \\ $$