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lim-x-2a-x-2a-x-2a-x-2-4a-2-where-a-gt-0-




Question Number 136258 by EDWIN88 last updated on 20/Mar/21
lim_(x→2a)  (((√(x−2a)) + (√x) −(√(2a)))/( (√(x^2 −4a^2 )))) =? where a>0
$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{2a}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{2a}}\:+\:\sqrt{\mathrm{x}}\:−\sqrt{\mathrm{2a}}}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4a}^{\mathrm{2}} }}\:=?\:\mathrm{where}\:\mathrm{a}>\mathrm{0} \\ $$
Answered by liberty last updated on 20/Mar/21
 L′Ho^  pital   = lim_(x→2a)  (1/( (√(x+2a)))) .lim_(x→2a)  (((√(x−2a)) +(√x)−(√(2a)))/( (√(x−2a))))  =(1/(2(√a))) .lim_(x→2a)  (((1/(2(√(x−2a)))) +(1/(2(√x))))/(1/(2(√(x−2a)))))  =(1/(2(√a))) .lim_(x→2a)  ((((√x) +(√(x−2a)))/( (√x) (√(x−2a))))).(√(x−2a))  =(1/(2(√a))) .lim_(x→2a)  ((((√x) +(√(x−2a)))/( (√x))))  =(1/(2(√a))). (((√(2a)) +0)/( (√(2a)))) = (1/(2(√a)))
$$\:{L}'{H}\ddot {{o}pital}\: \\ $$$$=\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{2}{a}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{{x}+\mathrm{2}{a}}}\:.\underset{{x}\rightarrow\mathrm{2}{a}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\sqrt{{x}−\mathrm{2}{a}}\:+\sqrt{{x}}−\sqrt{\mathrm{2}{a}}}{\:\sqrt{{x}−\mathrm{2}{a}}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{{a}}}\:.\underset{{x}\rightarrow\mathrm{2}{a}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{{x}−\mathrm{2}{a}}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{{x}}}}{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{{x}−\mathrm{2}{a}}}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{{a}}}\:.\underset{{x}\rightarrow\mathrm{2}{a}} {\mathrm{lim}}\:\left(\frac{\sqrt{{x}}\:+\sqrt{{x}−\mathrm{2}{a}}}{\:\sqrt{{x}}\:\sqrt{{x}−\mathrm{2}{a}}}\right).\sqrt{{x}−\mathrm{2}{a}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{{a}}}\:.\underset{{x}\rightarrow\mathrm{2}{a}} {\mathrm{lim}}\:\left(\frac{\sqrt{{x}}\:+\sqrt{{x}−\mathrm{2}{a}}}{\:\sqrt{{x}}}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{{a}}}.\:\frac{\sqrt{\mathrm{2}{a}}\:+\mathrm{0}}{\:\sqrt{\mathrm{2}{a}}}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{{a}}} \\ $$
Answered by EDWIN88 last updated on 20/Mar/21
Without L′Ho^  pital   lim_(x→2a)  (1/( (√(x+2a)))) .lim_(x→2a)  ((((√(x−2a)) +((√x) −(√(2a)) ))/( (√(x−2a))))   = (1/(2(√a))) .lim_(x→2a)  (1+ (((√x)−(√(2a)))/( (√(x−2a)))) )  =(1/(2(√a))) .(1+lim_(x→2a)  ((x−2a)/(((√x)+(√(2a)) )(√(x−2a)))) )   = (1/(2(√a))) .(1+ lim_(x→2a)  ((√(x−2a))/( (√x) +(√(2a)))) )= (1/(2(√a))).(1+0)  = (1/(2(√a))) .
$$\mathrm{Without}\:\mathrm{L}'\mathrm{H}\ddot {\mathrm{o}pital}\: \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{2a}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{2a}}}\:.\underset{{x}\rightarrow\mathrm{2a}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\left(\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{2a}}\:+\left(\sqrt{\mathrm{x}}\:−\sqrt{\mathrm{2a}}\:\right)\right.}{\:\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{2a}}}\: \\ $$$$=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{a}}}\:.\underset{{x}\rightarrow\mathrm{2a}} {\mathrm{lim}}\:\left(\mathrm{1}+\:\frac{\sqrt{\mathrm{x}}−\sqrt{\mathrm{2a}}}{\:\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{2a}}}\:\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{a}}}\:.\left(\mathrm{1}+\underset{{x}\rightarrow\mathrm{2a}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{x}−\mathrm{2a}}{\left(\sqrt{\mathrm{x}}+\sqrt{\mathrm{2a}}\:\right)\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{2a}}}\:\right)\: \\ $$$$=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{a}}}\:.\left(\mathrm{1}+\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{2a}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{2a}}}{\:\sqrt{\mathrm{x}}\:+\sqrt{\mathrm{2a}}}\:\right)=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{a}}}.\left(\mathrm{1}+\mathrm{0}\right) \\ $$$$=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{a}}}\:. \\ $$

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