Question Number 141149 by Dan last updated on 16/May/21
$${lim}_{{x}\rightarrow\infty} \underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{x}−\mathrm{1}} {\sum}}\frac{{x}}{\left({x}+{i}\right)} \\ $$
Answered by mr W last updated on 16/May/21
$$\frac{{x}}{{x}+{x}}<\frac{{x}}{{x}+{i}}<\frac{{x}}{{x}} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}<\frac{{x}}{{x}+{i}}<\mathrm{1} \\ $$$$\frac{{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}<\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{x}−\mathrm{1}} {\sum}}\frac{{x}}{{x}+{i}}<{x}−\mathrm{1} \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\left(\frac{{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)<\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{x}−\mathrm{1}} {\sum}}\frac{{x}}{{x}+{i}}<\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\left({x}−\mathrm{1}\right) \\ $$$$\infty<\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{x}−\mathrm{1}} {\sum}}\frac{{x}}{{x}+{i}}<\infty \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{x}−\mathrm{1}} {\sum}}\frac{{x}}{{x}+{i}}=\infty \\ $$
Answered by Ankushkumarparcha last updated on 16/May/21
$${Solution}:\:{Using}\:{L}'{Hospital}'{s}\:{Rule}. \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{i}={x}−\mathrm{1}} {\sum}}\frac{\frac{{d}}{{dx}}\:{x}}{\frac{{d}}{{dx}}\:\left({x}+{i}\right)}\:=\:\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{i}={x}−\mathrm{1}} {\sum}}\mathrm{1}\:\:\left(\therefore\:{by}\:{putting}\:{limits}\right) \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{i}={x}−\mathrm{1}} {\sum}}\frac{{x}}{{x}+{i}}\:=\:\infty \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 16/May/21
$$\sum_{\mathrm{i}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{n}+\mathrm{i}}\:=\sum_{\mathrm{i}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{n}}}\:=\mathrm{n}\:×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\sum_{\mathrm{i}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{n}}} \\ $$$$\mathrm{but}\:\mathrm{lim}_{\mathrm{n}\rightarrow+\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\sum_{\mathrm{i}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{n}}}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}}\:=\mathrm{ln2}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{lim}_{\mathrm{n}\rightarrow+\infty} \:\:\:\sum_{\mathrm{i}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{n}+\mathrm{i}}\:=\mathrm{lim}_{\mathrm{n}\rightarrow+\infty} \left(\mathrm{nlog2}\right)=+\infty \\ $$$$ \\ $$