Question Number 765 by prakash jain last updated on 09/Mar/15
$$\mathrm{List}\:\mathrm{all}\:\mathrm{primes}\:{p}\:\mathrm{for}\:\mathrm{which}\:{p}+\mathrm{2}\:\mathrm{and}\:{p}+\mathrm{4} \\ $$$$\mathrm{are}\:\mathrm{also}\:\mathrm{primes}. \\ $$
Answered by rishabh last updated on 09/Mar/15
$${p}=\mathrm{3}\:\mathrm{is}\:\mathrm{the}\:\mathrm{only}\:\mathrm{such}\:\mathrm{number}. \\ $$$$\mathrm{Let}\:\mathrm{us}\:\mathrm{assume}\:\mathrm{there}\:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{prime}\:{p}>\mathrm{3}. \\ $$$$\mathrm{Since}\:{p}\:\mathrm{is}\:\mathrm{not}\:\mathrm{divisible}\:\mathrm{by}\:\mathrm{3}, \\ $$$$\:\:\:{p}=\mathrm{3}{k}+\mathrm{1}\:\mathrm{or}\:\mathrm{3}{k}+\mathrm{2}\:\mathrm{where}\:{k}\in\mathbb{N},\:{k}\geqslant\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{If}\:{p}=\mathrm{3}{k}+\mathrm{1}\:\mathrm{then}\:{p}+\mathrm{2}\:\mathrm{is}\:\mathrm{divisible}\:\mathrm{by}\:\mathrm{3}. \\ $$$$\mathrm{If}\:{p}=\mathrm{3}{k}+\mathrm{2}\:\mathrm{then}\:\mathrm{p}+\mathrm{4}\:\mathrm{is}\:\mathrm{divisible}\:\mathrm{by}\:\mathrm{3}. \\ $$