Question Number 131661 by benjo_mathlover last updated on 07/Feb/21
$$\:\:\:\mathrm{log}\:_{\sqrt{\mathrm{2}}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{x}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\right)\:=\:\mathrm{2} \\ $$$$\:−\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{3}}\leqslant\mathrm{x}\leqslant\frac{\pi}{\mathrm{3}} \\ $$
Answered by liberty last updated on 07/Feb/21
$$\:\begin{cases}{\sqrt{\mathrm{2}}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{x}\:>\mathrm{0}\:;\:\mathrm{x}\:\mathrm{in}\:\mathrm{I}\:\mathrm{or}\:\mathrm{II}\:\mathrm{quadrant}}\\{\sqrt{\mathrm{2}}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{x}\:\neq\:\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{sin}\:\mathrm{x}\neq\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}}\end{cases} \\ $$$$\Leftrightarrow\:\mathrm{1}+\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\:=\:\left(\sqrt{\mathrm{2}}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{2sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}−\mathrm{cos}\:\mathrm{x}−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{2}−\mathrm{2cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}−\mathrm{cos}\:\mathrm{x}−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{2cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}+\mathrm{cos}\:\mathrm{x}−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\left(\mathrm{2cos}\:\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{cos}\:\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\:\begin{cases}{\mathrm{cos}\:\mathrm{x}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\Rightarrow\mathrm{x}\:=\:\frac{\pi}{\mathrm{3}}\leftarrow\mathrm{only}\:\mathrm{solution}}\\{\mathrm{cos}\:\mathrm{x}=−\mathrm{1}\:\left(\mathrm{reject}\right)}\end{cases} \\ $$
Commented by liberty last updated on 07/Feb/21
