Question Number 141365 by bemath last updated on 18/May/21
$$\:\mathrm{log}\:_{\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{4}}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}\sqrt{\mathrm{6}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}\sqrt{\mathrm{6}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}\sqrt{\mathrm{6}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}\sqrt{…}}}}\right)\:=? \\ $$
Answered by EDWIN88 last updated on 18/May/21
$$\mathrm{let}\:\mathcal{E}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}\:\sqrt{\mathrm{6}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}\:\sqrt{\mathrm{6}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}\:\sqrt{\mathrm{6}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}\sqrt{\ldots}}}} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathcal{E}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}\:\sqrt{\mathrm{6}−\mathcal{E}}\: \\ $$$$\Rightarrow\:\mathcal{E}^{\mathrm{2}} \:=\:\frac{\mathrm{6}−\mathcal{E}}{\mathrm{12}}\:\Rightarrow\:\mathrm{12}\mathcal{E}^{\mathrm{2}} +\mathcal{E}−\mathrm{6}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathcal{E}\:=\:\frac{−\mathrm{1}+\mathrm{17}}{\mathrm{24}}\:=\:\frac{\mathrm{16}}{\mathrm{24}}\:=\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\therefore\:\mathrm{log}\:_{\left(\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{4}}\right)} \left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)\:=\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$