Question Number 143812 by liberty last updated on 18/Jun/21
$$\:\mathrm{log}\:_{\mathrm{a}} \left(\mathrm{ax}\right).\mathrm{log}\:_{\mathrm{x}} \left(\mathrm{ax}\right)=\mathrm{log}\:_{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} } \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}}\right) \\ $$$$\:\mathrm{a}>\mathrm{0}\:,\:\mathrm{a}\neq\mathrm{1}\:.\:\mathrm{So}\:\mathrm{x}\:=\:? \\ $$
Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 18/Jun/21
$$\mathrm{log}_{{a}} \left({ax}\right).\mathrm{log}_{{x}} \left({ax}\right)\:=\:\mathrm{log}_{{a}^{\mathrm{2}} } \left(\frac{\mathrm{1}}{{a}}\right) \\ $$$$\frac{\mathrm{ln}\left({ax}\right)}{\mathrm{ln}{a}}.\frac{\mathrm{ln}\left({ax}\right)}{\mathrm{ln}{x}}\:=\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{log}_{{a}^{\mathrm{2}} } {a}^{\mathrm{2}} \:=\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \left({ax}\right)\:=\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}{a}.\mathrm{ln}{x} \\ $$$$\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} {a}+\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} {x}+\mathrm{2ln}{a}.\mathrm{ln}{x}\:=\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}{a}.\mathrm{ln}{x} \\ $$$$\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} {x}+\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} {a}+\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}{a}.\mathrm{ln}{x}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{ln}{x}+\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{4}}\mathrm{ln}{a}\right)^{\mathrm{2}} =\:\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{16}}\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} {a} \\ $$$$\mathrm{ln}{x}+\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{4}}\mathrm{ln}{a}=\:\pm\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\mid\mathrm{ln}{a}\mid\:=\:\pm\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\mathrm{ln}{a} \\ $$$$\mathrm{ln}{x}=\:−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{4}}\mathrm{ln}{a}\pm\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\mathrm{ln}{a} \\ $$$$\mathrm{ln}{x}=\:−\mathrm{2ln}{a}\:\mathrm{or}\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}{a} \\ $$$${x}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{{a}^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{or}\:\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{{a}}} \\ $$