Question Number 136256 by EDWIN88 last updated on 20/Mar/21
$$\mathrm{log}\:_{\left(\mathrm{x}−\mathrm{2}\right)} \left(\mathrm{10}−\mathrm{3x}\right)\:<\:\mathrm{2} \\ $$
Answered by liberty last updated on 20/Mar/21
$$\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{10}−\mathrm{3}{x}\:>\:\mathrm{0}\:;\:\mathrm{3}{x}−\mathrm{10}<\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:{x}\:<\:\frac{\mathrm{10}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right)\:\mathrm{log}\:_{\left({x}−\mathrm{2}\right)} \left(\mathrm{10}−\mathrm{3}{x}\right)\:<\:\mathrm{log}\:_{\left({x}−\mathrm{2}\right)} \left({x}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\left({x}−\mathrm{2}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{10}−\mathrm{3}{x}−\left({x}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} \right)\:<\:\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\:\left({x}−\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{10}−\mathrm{3}{x}−{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{x}−\mathrm{4}\right)<\:\mathrm{0} \\ $$$$\left({x}−\mathrm{3}\right)\left(−{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{6}\right)<\:\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\left({x}−\mathrm{3}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} −{x}−\mathrm{6}\right)>\mathrm{0} \\ $$$$\left({x}−\mathrm{3}\right)\left({x}−\mathrm{3}\right)\left({x}+\mathrm{2}\right)>\mathrm{0} \\ $$$$\left({x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} \left({x}+\mathrm{2}\right)>\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow−\mathrm{2}<{x}<\mathrm{3}\:\cup\:{x}>\mathrm{3} \\ $$$$\left(\mathrm{3}\right)\:{x}−\mathrm{2}>\mathrm{0},\:{x}>\mathrm{2} \\ $$$${The}\:{solution}\:{set}\:{is}\:\left(\mathrm{2},\mathrm{3}\right)\cup\left(\mathrm{3},\frac{\mathrm{10}}{\mathrm{3}}\right) \\ $$$$ \\ $$