Question Number 140680 by bemath last updated on 11/May/21
$$\:\mathrm{log}\:_{\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)} \left(\mathrm{7x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \right)−\mathrm{log}\:_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{2}}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}\right)\geqslant\:\mathrm{log}\:_{\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{2}}\:} \left(\sqrt{\mathrm{5}−\mathrm{x}}\:\right) \\ $$
Answered by liberty last updated on 11/May/21
$$\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{x}+\mathrm{2}>\:\mathrm{0}\:\wedge\mathrm{x}+\mathrm{2}\:\neq\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{x}>−\mathrm{2}\:\wedge\mathrm{x}\neq−\mathrm{1} \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right)\mathrm{7x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:>\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{7}−\mathrm{x}\right)>\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{x}\:<\:\mathrm{7}\:\wedge\mathrm{x}\neq\:\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{3}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}\:>\:\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{x}\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)>\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}<\mathrm{0}\:\vee\:\mathrm{x}\:>\:\mathrm{3} \\ $$$$\left(\mathrm{4}\right)\:\mathrm{5}−\mathrm{x}\:>\:\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{x}\:<\:\mathrm{5} \\ $$$$\left(\mathrm{5}\right)\:\mathrm{log}\:_{\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)} \left(\mathrm{7x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \right)−\mathrm{log}\:_{\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}\right)\:\geqslant\:\mathrm{log}\:_{\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)} \left(\mathrm{5}−\mathrm{x}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{log}\:_{\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)} \left(\mathrm{7x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \right)−\mathrm{log}\:_{\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}\right)−\mathrm{log}\:\left(\mathrm{5}−\mathrm{x}\right)\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{log}\:_{\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)} \left(\mathrm{7x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \right)−\left[\:\mathrm{log}\:_{\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}\right)\left(\mathrm{5}−\mathrm{x}\right)\right]\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\:\frac{\mathrm{7x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}\right)\left(\mathrm{5}−\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}+\mathrm{2}−\mathrm{1}}\:\geqslant\:\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{7x}^{\mathrm{2}} \cancel{−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }−\left(\mathrm{5x}^{\mathrm{2}} \cancel{−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }−\mathrm{15x}+\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} \right)}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\:\geqslant\:\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{15x}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\:\geqslant\:\mathrm{0}\:;\:\frac{\mathrm{x}\left(\mathrm{15}−\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\:\geqslant\:\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}<−\mathrm{1}\:\vee\:\mathrm{0}\leqslant\mathrm{x}\leqslant\mathrm{15} \\ $$$$\mathrm{Solution}\:\mathrm{set}\:\mathrm{is}\: \\ $$$$\Rightarrow−\mathrm{2}<\mathrm{x}<−\mathrm{1}\:\vee\:\mathrm{3}<\mathrm{x}<\mathrm{5}\: \\ $$