Question Number 141132 by mnjuly1970 last updated on 16/May/21
$$\:\:\: \\ $$$$\:…{mathematical}\:…{analysis}… \\ $$$$\:\:\:\:{prove}\:\:{that}: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\prod}}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}^{{n}} } }\:\right)\:\overset{?} {=}\:\mathrm{2}\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:…… \\ $$
Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 16/May/21
$$\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\prod}}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}^{{n}} } }\right)=\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\prod}}\frac{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} } }}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}^{{n}} } }}=\frac{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{x}}}.\frac{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{4}} }}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }}.\frac{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{8}} }}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{4}} }}.\frac{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{16}} }}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{8}} }}…\frac{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}^{{N}+\mathrm{1}} } }}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}^{{N}} } }} \\ $$$$=\underset{{N}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{{x}}{{x}−\mathrm{1}}.\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}^{{N}+\mathrm{1}} } }\right)=\frac{{x}}{{x}−\mathrm{1}} \\ $$$${x}=\mathrm{2} \\ $$
Commented by mnjuly1970 last updated on 16/May/21
$${very}\:{nice}.. \\ $$