Question Number 133050 by mnjuly1970 last updated on 18/Feb/21
$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:…{nice}\:……{calculus}… \\ $$$$\:\:\:\:\:\boldsymbol{\phi}=\:\int_{\mathrm{0}\:} ^{\:\mathrm{1}} {xli}_{\mathrm{3}} \left({x}\right){dx}=??? \\ $$$$ \\ $$
Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 18/Feb/21
$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {xli}_{\mathrm{3}} \left({x}\right){dx}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {x}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{{n}} }{{n}^{\mathrm{3}} }=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{3}} \left({n}+\mathrm{2}\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{3}} }β\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} \left({n}+\mathrm{2}\right)}=\frac{\zeta\left(\mathrm{3}\right)}{\mathrm{2}}β\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}\left({n}+\mathrm{2}\right)} \\ $$$$=\frac{\zeta\left(\mathrm{3}\right)}{\mathrm{2}}β\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{24}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)=\frac{\zeta\left(\mathrm{3}\right)}{\mathrm{2}}β\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{24}}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{16}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{48}}\left(\mathrm{24}\zeta\left(\mathrm{3}\right)β\mathrm{2}\pi^{\mathrm{2}} +\mathrm{9}\right) \\ $$
Commented by mnjuly1970 last updated on 18/Feb/21
$${thank}\:{you}\:{for}\:{your}\:{effort}.. \\ $$$${grateful}… \\ $$
Answered by mnjuly1970 last updated on 18/Feb/21
$$\:\:\:\:\boldsymbol{\phi}=\left[\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}{li}_{\mathrm{3}} \left({x}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} β\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} {xli}_{\mathrm{2}} \left({x}\right){dx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{li}_{\mathrm{3}} \left(\mathrm{1}\right)β\frac{\Phi}{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:{where}\:\:\Phi=\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} {xli}_{\mathrm{2}} \left({x}\right){dx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\left[\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}{li}_{\mathrm{2}} \left({x}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} β\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} {xli}_{\mathrm{1}} \left({x}\right){dx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}β\frac{\Psi}{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\Psi=\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} {xli}_{\mathrm{1}} \left({x}\right){dx}=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{{x}^{{n}+\mathrm{1}} }{{n}}{dx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}\left({n}+\mathrm{2}\right)}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}}β\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}}β\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}β\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}β\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}β\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}+….\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\:\:\:\therefore\:\:\:\boldsymbol{\phi}\:=\frac{\zeta\left(\mathrm{3}\right)}{\mathrm{2}}\:β\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}β\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\right)\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\zeta\left(\mathrm{3}\right)}{\mathrm{2}}β\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{24}}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{16}}\:…. \\ $$
Commented by Dwaipayan Shikari last updated on 18/Feb/21
$${There}\:{was}\:{a}\:{mistake}\:{on}\:{my}\:{answer}\:.\:{I}\:{have}\:{edited} \\ $$
Commented by mnjuly1970 last updated on 18/Feb/21
$$\:\:{grateful}\:{sir}\:{payan}… \\ $$$$ \\ $$