Question Number 137155 by mnjuly1970 last updated on 30/Mar/21
$$\:\:\:\:\:\:\:\:……{nice}\:\:\:\:{calculus}\:…… \\ $$$$\:\:\:\:\:\:{evaluate}\::: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{\phi}=\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{2}\pi} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{cos}^{\mathrm{4}} \left({x}\right)}{dx}=??? \\ $$
Answered by Ar Brandon last updated on 30/Mar/21
$$\phi=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}\pi} \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{1}+\mathrm{cos}^{\mathrm{4}} \mathrm{x}}=\mathrm{4}\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \frac{\mathrm{sec}^{\mathrm{4}} \mathrm{x}}{\mathrm{sec}^{\mathrm{4}} \mathrm{x}+\mathrm{1}}\mathrm{dx}\:,\:\mathrm{t}=\mathrm{tanx} \\ $$$$\:\:\:=\mathrm{4}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\mathrm{dt}=\mathrm{4}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}}\mathrm{dt} \\ $$$$\:\:\:=\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\sqrt{\mathrm{2}}\right)+\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} β\sqrt{\mathrm{2}}\right)}{\mathrm{t}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}}\mathrm{dt}+\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\sqrt{\mathrm{2}}\right)β\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} β\sqrt{\mathrm{2}}\right)}{\mathrm{t}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}}\mathrm{dt} \\ $$$$\:\:\:=\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \left\{\frac{\left(\mathrm{1}+\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\right)+\left(\mathrm{1}β\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\right)}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }}\right\}\mathrm{dt}+\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \left\{\frac{\left(\mathrm{1}+\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\right)β\left(\mathrm{1}β\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\right)}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }}\right\}\mathrm{dt} \\ $$$$\:\:\:=\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \left\{\frac{\mathrm{1}+\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }}{\left(\mathrm{t}β\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{t}}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}β\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }}{\left(\mathrm{t}+\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{t}}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}β\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}\right\}\mathrm{dt} \\ $$$$\:\:\:\:\:+\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \left\{\frac{\mathrm{1}+\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }}{\left(\mathrm{t}β\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{t}}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{2}}β\frac{\mathrm{1}β\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }}{\left(\mathrm{t}+\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{t}}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}β\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}\right\}\mathrm{dt} \\ $$$$\:\:\:\:=\mathrm{2}\int_{β\infty} ^{+\infty} \frac{\mathrm{du}}{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\int_{β\infty} ^{+\infty} \frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{v}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:=\left[\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{2}}}\mathrm{tan}^{β\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{u}}{\:\sqrt{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{2}}}\right)+\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\:\sqrt{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{2}}}\mathrm{tan}^{β\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{v}}{\:\sqrt{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{2}}}\right)\right]_{β\infty} ^{+\infty} \\ $$$$\:\:\:\:=\frac{\mathrm{2}\pi}{\:\sqrt{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{2}}}+\frac{\sqrt{\mathrm{2}}\pi}{\:\sqrt{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{2}}} \\ $$
Commented by Ar Brandon last updated on 30/Mar/21
$$\mathrm{Not}\:\mathrm{100\%}\:\mathrm{sure}…\:\mathrm{Please}\:\mathrm{check} \\ $$
Commented by Dwaipayan Shikari last updated on 30/Mar/21
$$\frac{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}}{\:\sqrt{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{2}}}\pi=\sqrt{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}}\:\pi\:\: \\ $$
Commented by mnjuly1970 last updated on 30/Mar/21
$$\:{thanks}\:{alot}\:{mr}\:{brandon}.. \\ $$
Commented by mnjuly1970 last updated on 30/Mar/21
$${grateful}\:{mr}\:{payan}… \\ $$
Commented by Ar Brandon last updated on 30/Mar/21
Cool
Answered by mathmax by abdo last updated on 31/Mar/21
$$\Phi=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}\pi} \:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{1}+\mathrm{cos}^{\mathrm{4}} \mathrm{x}}\:\Rightarrow\Phi\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}\pi} \:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{1}+\left(\frac{\mathrm{1}+\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}\pi} \:\frac{\mathrm{4dx}}{\mathrm{4}+\left(\mathrm{1}+\mathrm{2cos}\left(\mathrm{2x}\right)+\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2x}\right)\right)}\:=\mathrm{4}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}\pi} \:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{5}\:+\mathrm{2cos}\left(\mathrm{2x}\right)+\frac{\mathrm{1}+\mathrm{cos}\left(\mathrm{4x}\right)}{\mathrm{2}}} \\ $$$$=\mathrm{8}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}\pi} \:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{10}+\mathrm{4cos}\left(\mathrm{2x}\right)+\mathrm{1}+\mathrm{cos}\left(\mathrm{4x}\right)}\:=\mathrm{8}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}\pi} \:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{11}+\mathrm{4cos}\left(\mathrm{2x}\right)+\mathrm{cos}\left(\mathrm{4x}\right)} \\ $$$$=_{\mathrm{2x}=\mathrm{t}} \:\:\:\mathrm{8}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{4}\pi} \:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{11}+\mathrm{4cost}\:+\mathrm{cos}\left(\mathrm{2t}\right)\right)}\:=\mathrm{4}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{4}\pi} \:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{11}+\mathrm{4cost}\:+\mathrm{2cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{t}β\mathrm{1}} \\ $$$$=\mathrm{4}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{4}\pi} \:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{2cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{t}+\mathrm{4cost}\:+\mathrm{10}}\:=\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{4}\pi} \:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{t}+\mathrm{2cost}\:+\mathrm{5}} \\ $$$$\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2z}+\mathrm{5}=\mathrm{0}\rightarrow\Delta^{'} \:=\mathrm{1}β\mathrm{5}=β\mathrm{4}\:\Rightarrow\mathrm{z}_{\mathrm{1}} =β\mathrm{1}+\mathrm{2i}\:\mathrm{and}\:\mathrm{z}_{\mathrm{2}} =β\mathrm{1}β\mathrm{2i}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{t}+\mathrm{2cost}+\mathrm{5}\:=\left(\mathrm{cost}β\mathrm{z}_{\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{cost}β\mathrm{z}_{\mathrm{2}} \right)\:\Rightarrow \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{t}+\mathrm{2cost}+\mathrm{5}}\:=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{cost}β\mathrm{z}_{\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{cost}β\mathrm{z}_{\mathrm{2}} \right)} \\ $$$$=\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{cost}β\mathrm{z}_{\mathrm{1}} }β\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{cost}β\mathrm{z}_{\mathrm{2}} }\right)Γ\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4i}}\:\Rightarrow \\ $$$$\Phi\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2i}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{4}\pi} \:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{cost}β\mathrm{z}_{\mathrm{1}} }β\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2i}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{4}\pi} \:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{cost}β\mathrm{z}_{\mathrm{2}} } \\ $$$$=β\mathrm{i}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}\pi} \:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{cost}β\mathrm{z}_{\mathrm{1}} }\:+\mathrm{i}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}\pi} \frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{cost}β\mathrm{z}_{\mathrm{2}} }\:=β\mathrm{iH}\:+\mathrm{iK} \\ $$$$\mathrm{H}\:=_{\mathrm{z}=\mathrm{e}^{\mathrm{it}} } \:\:\:\int_{\mid\mathrm{z}\mid=\mathrm{1}} \:\:\:\:\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{iz}\left(\frac{\mathrm{z}+\mathrm{z}^{β\mathrm{1}} }{\mathrm{2}}+\mathrm{1}β\mathrm{2i}\right)} \\ $$$$=\int_{\mid\mathrm{z}\mid=\mathrm{1}} \:\:\frac{\mathrm{2dz}}{\mathrm{iz}\left(\mathrm{z}+\mathrm{z}^{β\mathrm{1}} \:+\mathrm{2}β\mathrm{4i}\right)}\:=\int\:\frac{β\mathrm{2i}}{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}+\left(\mathrm{2}β\mathrm{4i}\right)\mathrm{z}} \\ $$$$\varphi\left(\mathrm{z}\right)=\frac{β\mathrm{2i}}{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\left(\mathrm{2}β\mathrm{4i}\right)\mathrm{z}\:+\mathrm{1}}\:\:\mathrm{poles}? \\ $$$$\Delta^{'} \:=\left(\mathrm{1}β\mathrm{2i}\right)^{\mathrm{2}} β\mathrm{1}\:=\mathrm{1}β\mathrm{4i}β\mathrm{4}β\mathrm{1}\:=β\mathrm{4}\left(\mathrm{1}+\mathrm{i}\right)\:=β\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} \:\Rightarrow \\ $$$$\sqrt{\Delta^{,} }=\mathrm{2i}\left(^{\mathrm{4}} \sqrt{\mathrm{2}}\right)\:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{8}}} \:\Rightarrow\mathrm{z}_{\mathrm{1}} =β\mathrm{1}+\mathrm{2i}\:+\mathrm{2i}\left(^{\mathrm{4}} \sqrt{\mathrm{2}}\right)\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{8}}} \\ $$$$=β\mathrm{1}+\mathrm{2i}\:+\mathrm{2i}\left(^{\mathrm{4}} \sqrt{\mathrm{2}}\right)\left(\frac{\sqrt{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}}}{\mathrm{2}}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{\mathrm{2}β\sqrt{\mathrm{2}}}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$=β\mathrm{1}+\mathrm{2i}+\mathrm{2i}\left(^{\mathrm{4}} \sqrt{\mathrm{2}}\right)\frac{\sqrt{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}}}{\mathrm{2}}\:β\left(^{\mathrm{4}} \sqrt{\mathrm{2}}\right)\sqrt{\mathrm{2}β\sqrt{\mathrm{2}}} \\ $$$$=β\mathrm{1}+\mathrm{2i}+\mathrm{i}\left(^{\mathrm{4}} \sqrt{\mathrm{2}}\right)\sqrt{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}}β\left(^{\mathrm{4}} \sqrt{\mathrm{2}}\right)\sqrt{\mathrm{2}β\sqrt{\mathrm{2}}} \\ $$$$\Rightarrow\mid\mathrm{z}_{\mathrm{1}} \mid=\sqrt{\left(\mathrm{1}+\left(^{\mathrm{4}} \sqrt{\mathrm{2}}\right)\sqrt{\mathrm{2}β\sqrt{\mathrm{2}}}\right)^{\mathrm{2}} \:+\sqrt{\mathrm{2}}\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)}\:….\mathrm{be}\:\mathrm{continued}…. \\ $$