Question Number 138821 by mnjuly1970 last updated on 18/Apr/21
$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:…….\:{nice}\:..\:..\:..\:{calculus}…… \\ $$$${find}\:{the}\:{value}\:{of}: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Theta=\underset{{n}=−\infty\:} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{5}{n}+\mathrm{1}}=? \\ $$$$ \\ $$
Commented by Kamel last updated on 19/Apr/21
$${You}\:{can}\:{use}\:{digamma}\:{function}\:{or}\:{residue}\:{theorem}. \\ $$
Answered by Kamel last updated on 19/Apr/21
$$\Theta=\underset{{n}=−\infty} {\overset{+\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{5}{n}+\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\underset{{n}=−\infty} {\overset{+\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\left({n}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\left({n}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right)} \\ $$$$\:\:\:=\underset{{N}\rightarrow+\infty} {{lim}}\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{{N}} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{{n}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}}−\frac{\overset{} {\mathrm{1}}}{{n}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{1}}{−{n}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}}−\frac{\mathrm{1}}{−{n}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)−\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:=\underset{{N}\rightarrow+\infty} {{lim}}\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{{N}} {\sum}}\left\{\mathrm{3}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}{n}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}{n}−\mathrm{1}}\right)−\mathrm{2}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}}\right)\right\}−\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:=\underset{{N}\rightarrow+\infty} {{lim}}\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{{N}−\mathrm{1}} {\sum}}\mathrm{3}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}{n}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}{n}+\mathrm{2}}\right)=\mathrm{3}\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{+\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{3}{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{3}{n}+\mathrm{2}\right)} \\ $$$$\:\:\:{Put}:\:{f}\left({x}\right)=\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{+\infty} {\sum}}\frac{{x}^{\mathrm{3}{n}+\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{3}{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{3}{n}+\mathrm{2}\right)},\:\mathrm{0}\leqslant{x}<\mathrm{1}. \\ $$$${f}''\left({x}\right)=\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{+\infty} {\sum}}{x}^{\mathrm{3}{n}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{3}} }=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}−{x}\right)\left(\mathrm{1}+{x}+{x}^{\mathrm{2}} \right)}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{x}}+\frac{\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}+\mathrm{3}}{\mathrm{2}\left({x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}\right)}\right) \\ $$$$\:\therefore\:{f}'\left({x}\right)+{C}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\left(−{Ln}\left(\mathrm{1}−{x}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{Ln}\left({x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}\right)+\sqrt{\mathrm{3}}{Arctan}\left(\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\left({x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\right)\right. \\ $$$${f}'\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0}\Rightarrow{C}=\frac{\pi}{\:\mathrm{6}\sqrt{\mathrm{3}}} \\ $$$${f}\left(\mathrm{1}\right)=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {Ln}\left({x}\right){dx}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {Ln}\left({x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}\right){dx}+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {Arctan}\left(\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\left({x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\right){dx}−\frac{\pi}{\:\mathrm{6}\sqrt{\mathrm{3}}} \\ $$$${I}=\int{Ln}\left({x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}\right){dx}={xLn}\left({x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}\right)−\int\frac{\mathrm{2}\left({x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}\right)−{x}−\mathrm{2}}{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}}{dx} \\ $$$$\:\:={xLn}\left({x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{2}{x}+\int\frac{{x}+\mathrm{2}}{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}}{dx} \\ $$$$\:\:=\left({x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right){Ln}\left({x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{2}{x}+\sqrt{\mathrm{3}}{Arctan}\left(\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\left({x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\right) \\ $$$$\int{Arctan}\left({x}\right){dx}={xArctan}\left({x}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{Ln}\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} \right) \\ $$$${So}:\:{f}\left(\mathrm{1}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}{Ln}\left(\mathrm{3}\right)−\mathrm{2}+\frac{\pi\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}}−\frac{\pi\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{6}}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\pi}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}−\frac{\pi}{\mathrm{6}\sqrt{\mathrm{3}}}−\frac{\mathrm{1}}{\:\mathrm{2}}{Ln}\left(\mathrm{3}\right)\right)−\frac{\pi}{\mathrm{6}\sqrt{\mathrm{3}}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\pi\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{36}}+\frac{\mathrm{5}\pi}{\mathrm{12}\sqrt{\mathrm{3}}}−\frac{\pi}{\:\mathrm{6}\sqrt{\mathrm{3}}}=\frac{\pi}{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}},\:\Theta=\mathrm{3}{f}\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\therefore\:\:\:\:\:\:\:\Theta=\frac{\pi}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\underset{\boldsymbol{{n}}=−\infty} {\overset{+\infty} {\boldsymbol{\sum}}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}\boldsymbol{{n}}^{\mathrm{2}} +\mathrm{5}\boldsymbol{{n}}+\mathrm{1}}=\frac{\boldsymbol{\pi}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{{BENAICHA}}\:\boldsymbol{{Kamel}}\:\:\:\:\:\:\: \\ $$$$ \\ $$
Commented by mnjuly1970 last updated on 19/Apr/21
$${thanks}\:{alot}\:{mr}\:{Kmel}… \\ $$
Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 19/Apr/21
$$\underset{{n}=−\infty} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\left({an}^{\mathrm{2}} +{bn}+{c}\right)}=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{ac}}}\left(\psi\left(\frac{{b}+\sqrt{{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{ac}}}{\mathrm{2}}\right)−\psi\left(\frac{{b}−\sqrt{{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{ac}}}{\mathrm{2}}\right)\right)+\Lambda \\ $$$$\Lambda=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{ac}}}\left(\psi\left(\mathrm{1}−\frac{{b}}{\mathrm{2}{a}}+\frac{\sqrt{{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{ac}}}{\mathrm{2}{a}}\right)−\psi\left(\mathrm{1}−\frac{{b}}{\mathrm{2}{a}}−\frac{\sqrt{{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{ac}}}{\mathrm{2}{a}}\right)\right) \\ $$$$\underset{{n}=−\infty} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{6}{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{5}{n}+\mathrm{1}\right)}=\psi\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)−\psi\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right)+\psi\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)−\psi\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$=\pi{cot}\left(\frac{\pi}{\mathrm{3}}\right)=\frac{\pi}{\:\sqrt{\mathrm{3}}} \\ $$
Commented by mnjuly1970 last updated on 19/Apr/21
$$\:{thank}\:{you}\:{mr}\:{Payan}… \\ $$
Answered by mnjuly1970 last updated on 19/Apr/21