Question Number 140260 by EnterUsername last updated on 05/May/21
$$\mathrm{Passage}:\:\mathrm{If}\:{z}_{\mathrm{1}} ,\:{z}_{\mathrm{2}} \:\mathrm{and}\:{z}_{\mathrm{3}} \:\mathrm{are}\:\mathrm{three}\:\mathrm{complex}\:\mathrm{numbers} \\ $$$$\mathrm{representing}\:\mathrm{the}\:\mathrm{points}\:{A},\:{B}\:\mathrm{and}\:{C},\:\mathrm{respectively},\:\mathrm{in}\:\mathrm{the} \\ $$$$\mathrm{Argands}\:\mathrm{plane}\:\mathrm{and}\:\angle{BAC}=\alpha,\:\mathrm{then} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\frac{{z}_{\mathrm{3}} −{z}_{\mathrm{1}} }{{z}_{\mathrm{2}} −{z}_{\mathrm{1}} }=\left(\frac{{AC}}{{AB}}\right)\left(\mathrm{cos}\alpha+{i}\mathrm{sin}\alpha\right) \\ $$$$\left({i}\right)\:\mathrm{If}\:\mathrm{the}\:\mathrm{roots}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{equation} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{z}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}{a}_{\mathrm{1}} {z}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{a}_{\mathrm{2}} {z}+{a}_{\mathrm{3}} =\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{represent}\:\mathrm{the}\:\mathrm{vertices}\:\mathrm{of}\:\mathrm{an}\:\mathrm{equilateral}\:\mathrm{triangle},\:\mathrm{then} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{A}\right)\:{a}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} ={a}_{\mathrm{3}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{B}\right)\:{a}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} ={a}_{\mathrm{2}} \:\:\:\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{C}\right)\:{a}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} ={a}_{\mathrm{2}} {a}_{\mathrm{3}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{D}\right)\:{a}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{3}} ={a}_{\mathrm{2}} {a}_{\mathrm{3}} \\ $$