Question Number 5587 by sanusihammed last updated on 21/May/16
$${Please}\:{i}\:{need}\:{your}\:{help}. \\ $$$$ \\ $$$${if}\:\:\:{y}\:\:=\:\:\left[{tanx}\right]^{\left[{tanx}\right]^{\left[{tanx}\right]} } \:\:\:.\:\:\:{find}\:\:{dy}/{dx}\:\:{at}\:\:\Pi/\mathrm{4} \\ $$
Commented by prakash jain last updated on 21/May/16
$$\left[\mathrm{tan}\:{x}\right]={greatest}\:{integer}\:\left({floor}\:{function}\right)? \\ $$$$\mathrm{If}\:\mathrm{not}\: \\ $$$${y}=\left(\mathrm{tan}\:{x}\right)^{\left(\mathrm{tan}\:{x}\right)^{\left(\mathrm{tan}\:{x}\right)} } \\ $$$$\mathrm{ln}\:{y}=\left(\mathrm{tan}\:{x}\right)^{\left(\mathrm{tan}\:{x}\right)} \mathrm{ln}\:\mathrm{tan}\:{x} \\ $$$$\mathrm{ln}\:\mathrm{ln}\:{y}=\mathrm{tan}\:{x}\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{tan}\:{x}\right)+\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{ln}\:\mathrm{tan}\:{x}\right) \\ $$$${differentiating}\:{using}\:{chain}\:{rule} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{ln}\:{y}}\centerdot\frac{\mathrm{1}}{{y}}\centerdot\frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{x}}=\mathrm{sec}^{\mathrm{2}} {x}\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{tan}\:{x}\right)+\mathrm{tan}\:{x}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tan}\:{x}}\mathrm{sec}^{\mathrm{2}} {x} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{tan}\:{x}\right)}\centerdot\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tan}\:{x}}\centerdot\mathrm{sec}^{\mathrm{2}} {x} \\ $$$$\frac{{dy}}{{dx}}={y}\mathrm{ln}\:{y}\left(\mathrm{sec}^{\mathrm{2}} {x}\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{ln}\:\mathrm{tan}\:{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tan}\:{x}\centerdot\mathrm{ln}\:\mathrm{tan}\:{x}}\right) \\ $$$$\frac{{dy}}{{dx}}=\left(\mathrm{tan}\:{x}\right)^{\left(\mathrm{tan}\:{x}\right)^{\left(\mathrm{tan}\:{x}\right)} } \centerdot\left(\mathrm{tan}\:{x}\right)^{\left(\mathrm{tan}\:{x}\right)} \mathrm{ln}\:\mathrm{tan}\:{x}\left(\mathrm{sec}^{\mathrm{2}} {x}\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{ln}\:\mathrm{tan}\:{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tan}\:{x}\centerdot\mathrm{ln}\:\mathrm{tan}\:{x}}\right) \\ $$