Question Number 139851 by mnjuly1970 last updated on 01/May/21
$$\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{prove}\:…… \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\Phi=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{{ln}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{x}}\right)}{\:\sqrt{{x}}}{dx}=\mathrm{4}\:{ln}\left(\frac{{e}}{\mathrm{2}}\right)\:…\checkmark \\ $$
Answered by mindispower last updated on 01/May/21
$$\Phi=−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{{ln}\left(\mathrm{1}−{x}\right)}{\:\sqrt{{x}}}\Rightarrow\Phi=−\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {ln}\left(\mathrm{1}−{x}\right).{d}\sqrt{{x}} \\ $$$$=−\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {ln}\left(\mathrm{1}−{t}^{\mathrm{2}} \right){dt}=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\left[−\mathrm{2}{tln}\left(\mathrm{1}−{t}^{\mathrm{2}} \right)\right]_{\mathrm{0}} ^{{x}} \\ $$$$−\mathrm{4}\int_{\mathrm{0}} ^{{x}} \frac{{t}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}−{t}^{\mathrm{2}} }=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}−\mathrm{2}{xln}\left(\mathrm{1}−{x}\right)+\mathrm{4}{x}−\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{{x}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{t}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{t}}{dt} \\ $$$$=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}−\mathrm{2}{xln}\left(\mathrm{1}−{x}\right)+\mathrm{2}{ln}\left(\mathrm{1}−{x}\right)+\mathrm{4}{x}−\mathrm{2}{ln}\left(\mathrm{1}+{x}\right) \\ $$$$=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}2}\left(\mathrm{1}−{x}\right){ln}\left(\mathrm{1}−{x}\right)+\mathrm{4}−\mathrm{2}{ln}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\mathrm{4}{ln}\left({e}\right)−\mathrm{4}{ln}\sqrt{\mathrm{2}}=\mathrm{4}{ln}\left(\frac{{e}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\right) \\ $$$$ \\ $$
Answered by mnjuly1970 last updated on 01/May/21
Answered by mnjuly1970 last updated on 01/May/21
$$\:\:\:{solution}\:\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\:\:\:\Phi=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{{n}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} }{{n}}{dx}=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}\left({n}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)} \\ $$$$\:\:\:=\:\mathrm{2}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{{n}}−\frac{\mathrm{1}}{{n}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)=\mathrm{2}\left(\gamma−\gamma+\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}}−\frac{\mathrm{1}}{{n}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right) \\ $$$$\:=\mathrm{2}\gamma+\mathrm{2}\psi\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{2}\gamma+\mathrm{2}\left(\mathrm{2}−\gamma−\mathrm{2}{ln}\left(\mathrm{2}\right)\right) \\ $$$$=\mathrm{4}−\mathrm{4}{ln}\left(\mathrm{2}\right)=\mathrm{4}{ln}\left(\frac{{e}}{\mathrm{2}}\right)\:….. \\ $$$$ \\ $$