Question Number 1074 by Yugi last updated on 05/Jun/15
$${Prove}\:{by}\:{induction}\:{the}\:{following}\:{result}\:{where}\:{N}\:{is}\:{a}\:{positive}\:{even}\:{integer}.\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{S}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} +{S}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} =\mathrm{2}^{{N}} \\ $$$${where}\:\:\:\:{S}_{\mathrm{1}} =\underset{{r}=\mathrm{1}} {\overset{\frac{{N}}{\mathrm{2}}+\mathrm{1}} {\sum}}\left(−\mathrm{1}\right)^{{r}−\mathrm{1}} \begin{pmatrix}{{N}}\\{\mathrm{2}\left({r}−\mathrm{1}\right)}\end{pmatrix}\:\:\:\:{and}\:\:\:\:\:\:{S}_{\mathrm{2}} =\underset{{r}=\mathrm{1}} {\overset{{N}/\mathrm{2}} {\sum}}\left(−\mathrm{1}\right)^{{r}+\mathrm{1}} \begin{pmatrix}{{N}}\\{\mathrm{2}{r}−\mathrm{1}}\end{pmatrix}\:\:\:\:\:. \\ $$
Commented by prakash jain last updated on 07/Jun/15
$$\:^{{n}} {C}_{{r}} +\:^{{n}} {C}_{{r}−\mathrm{1}} =^{{n}+\mathrm{1}} {C}_{{r}} \\ $$$$\:^{{n}+\mathrm{2}} {C}_{{r}} =\:^{{n}+\mathrm{1}} {C}_{{r}−\mathrm{1}} +\:^{{n}+\mathrm{1}} {C}_{{r}} =\:^{{n}} {C}_{{r}−\mathrm{2}} +\mathrm{2}\:^{{n}} {C}_{{r}−\mathrm{1}} +\:^{{n}} {C}_{\mathrm{r}} \\ $$
Commented by prakash jain last updated on 07/Jun/15
$$\mathrm{Use}\:\mathrm{the}\:\mathrm{above}\:\mathrm{relation}\:\mathrm{to}\:\mathrm{write}\:\overset{{N}+\mathrm{2}} {{S}}_{\mathrm{1}} \mathrm{in}\:\mathrm{terms} \\ $$$$\mathrm{of}\:\overset{{N}} {{S}}_{\mathrm{1}} \mathrm{and}\:\overset{{N}} {{S}}_{\mathrm{2}} . \\ $$
Commented by 112358 last updated on 07/Jun/15
$${Thanks}.\: \\ $$