Question Number 8988 by Daily last updated on 10/Nov/16
$${prove} \\ $$$$\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}\left({k}+\mathrm{1}\right)={k}\left({k}+\mathrm{1}\right)\left({k}+\mathrm{2}\right)/\mathrm{3} \\ $$
Answered by 123456 last updated on 11/Nov/16
$${s}\left({n}\right)=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}\left({k}+\mathrm{1}\right)={n}\left({n}+\mathrm{1}\right)\left({n}+\mathrm{2}\right)/\mathrm{3} \\ $$$${n}=\mathrm{1} \\ $$$${s}\left(\mathrm{1}\right)=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{1}} {\sum}}{k}\left({k}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{1}\left(\mathrm{1}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{2}=\mathrm{1}\left(\mathrm{1}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}\right)/\mathrm{3} \\ $$$${n}=\mathrm{2} \\ $$$${s}\left(\mathrm{2}\right)=\mathrm{1}\left(\mathrm{1}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{2}\left(\mathrm{2}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{2}+\mathrm{6}=\mathrm{8} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}\left(\mathrm{2}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}+\mathrm{2}\right)}{\mathrm{3}}=\mathrm{8} \\ $$$$\mathrm{suppose}\:\mathrm{its}\:\mathrm{true}\:\mathrm{for}\:{n},\:\mathrm{so} \\ $$$${s}\left({n}+\mathrm{1}\right)=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}+\mathrm{1}} {\sum}}{k}\left({k}+\mathrm{1}\right)=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}\left({k}+\mathrm{1}\right)+\left({n}+\mathrm{1}\right)\left({n}+\mathrm{2}\right) \\ $$$$={s}\left({n}\right)+\left({n}+\mathrm{1}\right)\left({n}+\mathrm{2}\right) \\ $$$$=\frac{{n}\left({n}+\mathrm{1}\right)\left({n}+\mathrm{2}\right)}{\mathrm{3}}+\left({n}+\mathrm{1}\right)\left({n}+\mathrm{2}\right) \\ $$$$=\left({n}+\mathrm{1}\right)\left({n}+\mathrm{2}\right)\left[\frac{{n}}{\mathrm{3}}+\mathrm{1}\right] \\ $$$$=\frac{\left({n}+\mathrm{1}\right)\left({n}+\mathrm{2}\right)\left({n}+\mathrm{3}\right)}{\mathrm{3}} \\ $$$$=\frac{\left({n}+\mathrm{1}\right)\left[\left({n}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}\right]\left[\left({n}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{2}\right]}{\mathrm{3}}\:\:\Box \\ $$$$\mathrm{since}\:\mathrm{it}'\mathrm{s}\:\mathrm{true}\:\mathrm{for}\:\mathrm{1},\:\mathrm{then} \\ $$$$\mathrm{1}\rightarrow\mathrm{2}\rightarrow\mathrm{3}\rightarrow… \\ $$$$\mathrm{so}\:\mathrm{its}\:\mathrm{true}\:\mathrm{for}\:{n}\in\mathbb{N}^{\ast} \:\:\:\blacksquare \\ $$
Answered by Rasheed Soomro last updated on 11/Nov/16
$$\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}\left({k}+\mathrm{1}\right)={k}\left({k}+\mathrm{1}\right)\left({k}+\mathrm{2}\right)/\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{For}\:\mathrm{k}=\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}\left(\mathrm{1}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{1}\left(\mathrm{1}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}\right)/\mathrm{3} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{2}=\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{The}\:\mathrm{proposition}\:\mathrm{is}\:\mathrm{true}\:\mathrm{for}\:\mathrm{k}=\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Let}\:\mathrm{the}\:\mathrm{proposition}\:\mathrm{is}\:\mathrm{true}\:\mathrm{for}\:\mathrm{k}: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}\left({k}+\mathrm{1}\right)={k}\left({k}+\mathrm{1}\right)\left({k}+\mathrm{2}\right)/\mathrm{3} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{Then} \\ $$$$\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}\left({k}+\mathrm{1}\right)+\left({k}+\mathrm{1}\right)\left(\overline {{k}+\mathrm{1}}+\mathrm{1}\right)={k}\left({k}+\mathrm{1}\right)\left({k}+\mathrm{2}\right)/\mathrm{3}+\left({k}+\mathrm{1}\right)\left({k}+\mathrm{1}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\:\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left({k}+\mathrm{1}\right)\left(\overline {{k}+\mathrm{1}}+\mathrm{1}\right)=\frac{{k}\left({k}+\mathrm{1}\right)\left({k}+\mathrm{2}\right)+\mathrm{3}\left({k}+\mathrm{1}\right)\left({k}+\mathrm{2}\right)}{\mathrm{3}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\left({k}+\mathrm{1}\right)\left({k}+\mathrm{2}\right)\left({k}+\mathrm{3}\right)}{\mathrm{3}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\left(\overline {{k}+\mathrm{1}}\right)\left(\overline {{k}+\mathrm{1}}+\mathrm{1}\right)\left(\overline {{k}+\mathrm{1}}+\mathrm{2}\right)}{\mathrm{3}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{the}\:\mathrm{proposition}\:\mathrm{is}\:\mathrm{true}\:\mathrm{for}\:\mathrm{k}+\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Hence}\:\mathrm{the}\:\mathrm{proposition}\:\mathrm{is}\:\mathrm{true}\:\mathrm{for}\:\mathrm{k}\in\mathbb{N} \\ $$