Question Number 443 by prakash jain last updated on 04/Jan/15
$$\mathrm{Prove}\:\mathrm{or}\:\mathrm{disprove}\:\mathrm{that}\:\mathrm{minimum}\:\mathrm{value} \\ $$$$\mathrm{of}\:{n}\:\mathrm{which}\:\mathrm{satisfies}\:\mathrm{the}\:\mathrm{equation} \\ $$$$\mathrm{10}^{{n}} \equiv\mathrm{1}\left(\mathrm{mod}\:\mathrm{7}^{{p}} \right)\:\mathrm{is}\:{n}=\mathrm{6}×\mathrm{7}^{{p}−\mathrm{1}} . \\ $$
Commented by 123456 last updated on 05/Jan/15
$$\mathrm{10}^{\mathrm{n}} =\mathrm{k7}^{\mathrm{p}} +\mathrm{1},{k}\in\mathbb{N} \\ $$$${n}=\mathrm{log}\left(\mathrm{7}^{{p}} {k}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{7}^{{p}} {k}+\mathrm{1}\overset{\mathrm{10}} {\equiv}\mathrm{0},{k}>\mathrm{0}\vee{k}=\mathrm{0} \\ $$