Question Number 10245 by j.masanja06@gmail.com last updated on 31/Jan/17
$$\mathrm{prove}\:\mathrm{that}\: \\ $$$$\begin{vmatrix}{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{x}}&{\mathrm{y}}&{\mathrm{z}}\\{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }&{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} }&{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} }\end{vmatrix}=\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{y}−\mathrm{z}\right)\left(\mathrm{z}−\mathrm{y}\right) \\ $$
Answered by prakash jain last updated on 31/Jan/17
$$\begin{vmatrix}{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{x}}&{\mathrm{y}}&{\mathrm{z}}\\{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }&{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} }&{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} }\end{vmatrix}\:\: \\ $$$$\mathrm{C1}−\mathrm{C2}\rightarrow\mathrm{C1},\:\mathrm{C2}−\mathrm{C3}\rightarrow\mathrm{C2} \\ $$$$\begin{vmatrix}{\mathrm{0}}&{\mathrm{0}}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{x}−\mathrm{y}}&{\mathrm{y}−\mathrm{z}}&{\mathrm{z}}\\{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{y}^{\mathrm{2}} }&{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{z}^{\mathrm{2}} }&{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} }\end{vmatrix}\:\: \\ $$$$\begin{vmatrix}{\mathrm{0}}&{\mathrm{0}}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{x}−\mathrm{y}}&{\mathrm{y}−\mathrm{z}}&{\mathrm{z}}\\{\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)}&{\left(\mathrm{y}−\mathrm{z}\right)\left(\mathrm{y}+\mathrm{z}\right)}&{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} }\end{vmatrix}\:\: \\ $$$$\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{y}−\mathrm{z}\right)\begin{vmatrix}{\mathrm{0}}&{\mathrm{0}}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{z}}\\{\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)}&{\left(\mathrm{y}+\mathrm{z}\right)}&{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} }\end{vmatrix}\:\: \\ $$$$\mathrm{Expanding}\:\mathrm{wrt}\:\mathrm{row}\:\mathrm{1} \\ $$$$\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{y}−\mathrm{z}\right)\left(\left(\mathrm{y}+\mathrm{z}\right)−\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)\right) \\ $$$$=\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{y}−\mathrm{z}\right)\left(\mathrm{z}−\mathrm{x}\right) \\ $$