Question Number 74980 by ~blr237~ last updated on 05/Dec/19
$$\mathrm{Prove}\:\mathrm{that}\:\mathrm{for}\:\mathrm{n}\in\mathbb{N}^{\ast} \\ $$$$\:\underset{\mathrm{p}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{n}−\mathrm{1}} {\sum}}\:\left[\mathrm{x}+\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{n}}\right]=\left[\mathrm{nx}\right] \\ $$
Answered by mind is power last updated on 05/Dec/19
$$\mathrm{let}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{p}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{n}−\mathrm{1}} {\sum}}\left[\mathrm{x}+\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{n}}\right] \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\right)=\underset{\mathrm{p}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{n}−\mathrm{1}} {\sum}}\left[\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}+\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{n}}\right]=\underset{\mathrm{p}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\left[\mathrm{x}+\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{n}}\right]=\underset{\mathrm{p}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}−\mathrm{1}} {\sum}}\left[\mathrm{x}+\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{n}}\right]+\left[\mathrm{x}+\mathrm{1}\right]=\mathrm{1}+\left[\mathrm{x}\right]+\underset{\mathrm{p}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}−\mathrm{1}} {\sum}}\left[\mathrm{x}+\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{n}}\right] \\ $$$$=\mathrm{1}+\underset{\mathrm{p}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{n}−\mathrm{1}} {\sum}}\left[\mathrm{x}+\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{n}}\right]=\mathrm{1}+\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)….\mathrm{E} \\ $$$$\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\left[\mathrm{nx}\right] \\ $$$$\mathrm{g}\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\right)=\left[\mathrm{n}\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\right)\right]=\mathrm{1}+\left[\mathrm{nx}\right] \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{juste}\:\mathrm{to}\:\mathrm{show}\:\mathrm{for}\:\mathrm{x}\in\left[\mathrm{0},\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\left[\right.\right. \\ $$$$\mathrm{x}\in\left[\mathrm{0},\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\left[\Rightarrow\mathrm{x}+\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{n}}<\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}+\frac{\mathrm{n}−\mathrm{1}}{\mathrm{n}}<\mathrm{1},\forall\mathrm{p}\in\left[\mathrm{0},\mathrm{n}−\mathrm{1}\right]\right.\right. \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{x}<\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\Rightarrow\mathrm{nx}<\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{0},\forall\mathrm{x}\in\left[\mathrm{0},\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\left[\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right),\forall\mathrm{x}\in\mathbb{R}\:\:\mathrm{withe}\:\right.\right. \\ $$$$\forall\mathrm{x}\in\mathbb{R}\:\:\mathrm{if}\:\mathrm{x}\in\left[\mathrm{0},\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\left[\:\mathrm{we}\:\mathrm{are}\:\mathrm{donne}\right.\right. \\ $$$$\mathrm{x}=\frac{\mathrm{E}\left(\mathrm{nx}\right)}{\mathrm{n}}+\mathrm{x}−\frac{\mathrm{E}\left(\mathrm{nx}\right)}{\mathrm{n}} \\ $$$$\mathrm{x}−\frac{\mathrm{E}\left(\mathrm{nx}\right)}{\mathrm{n}}\in\left[\mathrm{0},\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\left[\right.\right. \\ $$$$\mathrm{E}\left(\mathrm{nx}\right)\leqslant\mathrm{nx}\Rightarrow\mathrm{x}−\frac{\mathrm{E}\left(\mathrm{nx}\right)}{\mathrm{n}}>\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{nx}−\mathrm{1}<\mathrm{E}\left(\mathrm{nx}\right)\:\Rightarrow\frac{\mathrm{E}\left(\mathrm{nx}\right)}{\mathrm{n}}>\mathrm{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\Rightarrow\mathrm{x}−\frac{\mathrm{E}\left(\mathrm{nx}\right)}{\mathrm{n}}<\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{E}\left(\mathrm{nx}\right)}{\mathrm{n}}+\left\{\mathrm{x}−\frac{\mathrm{E}\left(\mathrm{nx}\right)}{\mathrm{n}}\right\}\right) \\ $$$$\mathrm{E}\left(\mathrm{nx}\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{E}\left(\mathrm{nx}\right)}{\mathrm{n}}\right)=\mathrm{k}\:\mathrm{since}\:\mathrm{f}=\mathrm{0}\:\mathrm{in}\:\left[\mathrm{0},\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\left[\right.\right. \\ $$$$\mathrm{g}\left(\frac{\mathrm{E}\left(\mathrm{nx}\right)}{\mathrm{n}}+\mathrm{x}−\frac{\mathrm{E}\left(\mathrm{nx}\right)}{\mathrm{n}}\right)=\mathrm{E}\left(\mathrm{nx}\right)+\mathrm{g}\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{E}\left(\mathrm{nx}\right)}{\mathrm{n}}\right)=\mathrm{E}\left(\mathrm{nx}\right) \\ $$$$\mathrm{since}\:\:\mathrm{g}=\mathrm{0}\:\:\mathrm{in}\:\left[\mathrm{0},\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\left[\right.\right. \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right),\forall\mathrm{x}\in\mathbb{R} \\ $$