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Prove-that-j-1-N-X-j-1-2-j-1-N-X-j-2-2-j-1-N-X-j-N-




Question Number 6599 by WAI LIN last updated on 05/Jul/16
Prove that Σ_(j=1) ^N (X_j −1)^2  =Σ_(j=1) ^N  X_j ^2  − 2 Σ_(j=1) ^N  X_j  + N.
$${Prove}\:{that}\:\underset{{j}=\mathrm{1}} {\overset{{N}} {\sum}}\left({X}_{{j}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:=\underset{{j}=\mathrm{1}} {\overset{{N}} {\sum}}\:{X}_{{j}} ^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{2}\:\underset{{j}=\mathrm{1}} {\overset{{N}} {\sum}}\:{X}_{{j}} \:+\:{N}. \\ $$
Answered by Temp last updated on 05/Jul/16
S=Σ_(j=1) ^n (X_j −1)^2   S=Σ_(j=1) ^n (X_j ^2 −2X_j +1)  S=Σ_(j=1) ^n X_j ^2 −Σ_(j=1) ^n 2X_j +Σ_(j=1) ^n 1  S=Σ_(j=1) ^n X_j ^2 −2Σ_(j=1) ^n X_j +n  Q.E.D.
$${S}=\underset{{j}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left({X}_{{j}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$${S}=\underset{{j}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left({X}_{{j}} ^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{X}_{{j}} +\mathrm{1}\right) \\ $$$${S}=\underset{{j}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{X}_{{j}} ^{\mathrm{2}} −\underset{{j}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\mathrm{2}{X}_{{j}} +\underset{{j}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\mathrm{1} \\ $$$${S}=\underset{{j}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{X}_{{j}} ^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\underset{{j}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{X}_{{j}} +{n} \\ $$$${Q}.{E}.{D}. \\ $$
Commented by WAI LIN last updated on 05/Jul/16
Thank!
$${Thank}! \\ $$

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