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prove-that-n-1-a-n-b-n-p-1-p-n-1-a-n-p-1-p-n-1-b-n-p-1-p-

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Question Number 9758 by richard last updated on 31/Dec/16
prove that (Σ_(n=1) ^∞ (a_n +b_n )^p )^(1/p) ≤(Σ_(n=1) ^∞ a_n ^p )^(1/p) +(Σ_(n=1) ^∞ b_n ^p )^(1/p)
$$\mathrm{prove}\:\mathrm{that} \\ $$$$\left(\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left({a}_{{n}} +{b}_{{n}} \right)^{{p}} \right)^{\mathrm{1}/{p}} \leqslant\left(\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}{a}_{{n}} ^{{p}} \right)^{\mathrm{1}/{p}} +\left(\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}{b}_{{n}} ^{{p}} \right)^{\mathrm{1}/{p}} \\ $$
Commented by FilupSmith last updated on 04/Jan/17
Attempting ∴(Σ_(n=1) ^∞ (Σ_(v=0) ^p ((p),(v) ) a_n ^(p−v) b_n ^p ))^(1/p) ≤(Σ_(n=1) ^∞ a_n ^p )^(1/p) +(Σ_(n=1) ^∞ b_n ^p )^(1/p) let: A=(Σ_(n=1) ^∞ (a_n ^p )) B=(Σ_(n=1) ^∞ (b_n ^p )) (Σ_(n=1) ^∞ (Σ_(v=0) ^p ((p),(v) ) a_n ^(p−v) b_n ^p ))^(1/p) ≤(1/A^p )+(1/B^p ) (Σ_(n=1) ^∞ (Σ_(v=0) ^p ((p),(v) ) a_n ^(p−v) b_n ^p ))^(1/p) ≤((A^p +B^p )/((AB)^p )) (Σ_(n=1) ^∞ (Σ_(v=0) ^p ((p),(v) ) a_n ^(p−v) b_n ^p ))^(1/p) ≤(((Σ_(n=1) ^∞ (a_n ^p ))^p +(Σ_(n=1) ^∞ (b_n ^p ))^p )/({(Σ_(n=1) ^∞ (a_n ^p ))(Σ_(n=1) ^∞ (b_n ^p ))}^p )) Attempting
$$\mathrm{Attempting} \\ $$$$\therefore\left(\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\underset{{v}=\mathrm{0}} {\overset{{p}} {\sum}}\begin{pmatrix}{{p}}\\{{v}}\end{pmatrix}\:{a}_{{n}} ^{{p}−{v}} {b}_{{n}} ^{{p}} \right)\right)^{\mathrm{1}/{p}} \leqslant\left(\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}{a}_{{n}} ^{{p}} \right)^{\mathrm{1}/{p}} +\left(\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}{b}_{{n}} ^{{p}} \right)^{\mathrm{1}/{p}} \\ $$$$\: \\ $$$$\mathrm{let}: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{A}=\left(\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left({a}_{{n}} ^{{p}} \right)\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{B}=\left(\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left({b}_{{n}} ^{{p}} \right)\right) \\ $$$$\left(\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\underset{{v}=\mathrm{0}} {\overset{{p}} {\sum}}\begin{pmatrix}{{p}}\\{{v}}\end{pmatrix}\:{a}_{{n}} ^{{p}−{v}} {b}_{{n}} ^{{p}} \right)\right)^{\mathrm{1}/{p}} \leqslant\frac{\mathrm{1}}{{A}^{{p}} }+\frac{\mathrm{1}}{{B}^{{p}} } \\ $$$$\left(\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\underset{{v}=\mathrm{0}} {\overset{{p}} {\sum}}\begin{pmatrix}{{p}}\\{{v}}\end{pmatrix}\:{a}_{{n}} ^{{p}−{v}} {b}_{{n}} ^{{p}} \right)\right)^{\mathrm{1}/{p}} \leqslant\frac{{A}^{{p}} +{B}^{{p}} }{\left({AB}\right)^{{p}} } \\ $$$$\left(\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\underset{{v}=\mathrm{0}} {\overset{{p}} {\sum}}\begin{pmatrix}{{p}}\\{{v}}\end{pmatrix}\:{a}_{{n}} ^{{p}−{v}} {b}_{{n}} ^{{p}} \right)\right)^{\mathrm{1}/{p}} \leqslant\frac{\left(\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left({a}_{{n}} ^{{p}} \right)\right)^{{p}} +\left(\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left({b}_{{n}} ^{{p}} \right)\right)^{{p}} }{\left\{\left(\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left({a}_{{n}} ^{{p}} \right)\right)\left(\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left({b}_{{n}} ^{{p}} \right)\right)\right\}^{{p}} } \\ $$$$\: \\ $$$$\mathrm{Attempting} \\ $$

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