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Prove-that-n-N-a-k-1-n-C-n-k-1-k-k-k-1-n-1-k-b-k-1-n-C-n-k-1-k-2k-1-4-n-2n-1-C-2n-n-

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Question Number 143461 by Willson last updated on 14/Jun/21
Prove that : ∀n∈N^∗ a. Σ_(k=1) ^n C_n ^k (((−1)^k )/k) = Σ_(k=1) ^n (1/k) b. Σ_(k=1) ^n C_n ^k (((−1)^k )/(2k+1)) = (4^n /((2n+1)C_(2n) ^n ))
$$\mathrm{Prove}\:\mathrm{that}\::\:\forall\mathrm{n}\in\mathbb{N}^{\ast} \\ $$$$\mathrm{a}.\:\:\:\:\:\:\:\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}}\:=\:\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}} \\ $$$$\mathrm{b}.\:\:\:\:\:\:\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\mathrm{2k}+\mathrm{1}}\:=\:\frac{\mathrm{4}^{\mathrm{n}} }{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right){C}_{\mathrm{2n}} ^{\mathrm{n}} } \\ $$
Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 14/Jun/21
Σ_(k=1) ^n C_n ^k x^k =(1+x)^k −1 ⇒Σ_(k=1) ^n C_n ^k x^(k−1) =(((1+x)^n −1)/x)⇒Σ_(k=1) ^n C_n ^k (((−1)^k )/k)=∫_0 ^(−1) (((1+x)^n −1)/x)dx =∫_0 ^1 (((1−u)^n −1)/u)du=−∫_0 ^1 ((1−u^n )/(1−u))du=−H_n
$$\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{C}_{{n}} ^{{k}} {x}^{{k}} =\left(\mathrm{1}+{x}\right)^{{k}} −\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{C}_{{n}} ^{{k}} {x}^{{k}−\mathrm{1}} =\frac{\left(\mathrm{1}+{x}\right)^{{n}} \:−\mathrm{1}}{{x}}\Rightarrow\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{C}_{{n}} ^{{k}} \frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{k}} }{{k}}=\int_{\mathrm{0}} ^{−\mathrm{1}} \frac{\left(\mathrm{1}+{x}\right)^{{n}} −\mathrm{1}}{{x}}{dx} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\left(\mathrm{1}−{u}\right)^{{n}} −\mathrm{1}}{{u}}{du}=−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}−{u}^{{n}} }{\mathrm{1}−{u}}{du}=−{H}_{{n}} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 14/Jun/21
1) let p(x)=Σ_(k=1) ^n C_n ^k (((−1)^k )/k) x^k ⇒p^′ (x)=Σ_(k=1) ^n C_n ^k (−1)^k x^(k−1) =(1/x)Σ_(k=1) ^n C_n ^k (−1)^k x^k =(1/x)(Σ_(k=0) ^n C_n ^k (−1)^k x^k −1) =(1/x)( (1−x)^n −1) ⇒p(x)=∫_0 ^x (((1−t)^n −1)/t)dt +K K=p(0)=0 ⇒p(x)=∫_0 ^x (((1−t−1)( 1+(1−t)+(1−t)^2 +....+(1−t)^(n−1) ))/t)dt =−∫_0 ^x Σ_(k=0) ^(n−1) (1−t)^k dt =Σ_(k=0) ^(n−1) [(1/(k+1))(1−t)^(k+1) ]_0 ^x =Σ_(k=0) ^(n−1) (1/(k+1))( (1−x)^(k+1) −1)=p(x) ⇒ Σ_(k=1) ^n C_n ^k (((−1)^k )/k)=p(1) =−Σ_(k=0) ^(n−1) (1/(k+1))=−Σ_(k=1) ^n (1/k)=−H_n
$$\left.\mathrm{1}\right)\:\mathrm{let}\:\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}}\:\mathrm{x}^{\mathrm{k}} \:\Rightarrow\mathrm{p}^{'} \left(\mathrm{x}\right)=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{k}} \:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\left(\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{k}} −\mathrm{1}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\left(\:\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{n}} −\mathrm{1}\right)\:\Rightarrow\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{x}} \:\frac{\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)^{\mathrm{n}} −\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\mathrm{dt}\:+\mathrm{K} \\ $$$$\mathrm{K}=\mathrm{p}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{x}} \:\frac{\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}−\mathrm{1}\right)\left(\:\mathrm{1}+\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)+\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)^{\mathrm{2}} +….+\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \right)}{\mathrm{t}}\mathrm{dt} \\ $$$$=−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{x}} \:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)^{\mathrm{k}} \:\mathrm{dt}\:=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}+\mathrm{1}}\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)^{\mathrm{k}+\mathrm{1}} \right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{x}} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}+\mathrm{1}}\left(\:\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{k}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}\right)=\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}}=\mathrm{p}\left(\mathrm{1}\right)\:=−\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}+\mathrm{1}}=−\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}}=−\mathrm{H}_{\mathrm{n}} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 15/Jun/21
2)let p(x)=Σ_(k=1) ^n C_n ^k (((−1)^k )/(2k+1))x^(2k+1) ⇒ p^′ (x)=Σ_(k=1) ^n C_n ^k (−1)^k (x^2 )^k =(1−x^2 )^n −1 ⇒ p(x)=∫_0 ^x ((1−t^2 )^n −1)dt +K k=p(0)=0 ⇒p(x)=∫_0 ^x (1−t^2 )^n dt−x ⇒p(1)=∫_0 ^1 (1−t^2 )^n dt−1 ∫_0 ^1 (1−t^2 )^n dt =_(t=sinx) ∫_0 ^(π/2) cos^(2n) x cosx dx =∫_0 ^(π/2) cos^(2n+1) xdx =∫_0 ^(π/2) cos^(2n+1) x sin^o x dx 2p−1=2n+1 ⇒2p=2n+2 ⇒p=n+1 2q−1=0 ⇒q=(1/2) ⇒ ∫_0 ^(π/2) cos^(2n+1) xdx =∫_0 ^(π/2) cos^(2(n+1)−1) sin^(2(1/2)−1) xdx =(1/2)B(n+1,(1/2))=(1/2)((Γ(n+1)Γ((1/2)))/(Γ(n+(3/2))))=((n!(√π))/(2Γ(n+(3/2)))) ..be continued....
$$\left.\mathrm{2}\right)\mathrm{let}\:\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\mathrm{2k}+\mathrm{1}}\mathrm{x}^{\mathrm{2k}+\mathrm{1}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{p}^{'} \left(\mathrm{x}\right)=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} \:\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{k}} \:=\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{n}} −\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{x}} \left(\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{n}} −\mathrm{1}\right)\mathrm{dt}\:+\mathrm{K}\:\: \\ $$$$\mathrm{k}=\mathrm{p}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{x}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{dt}−\mathrm{x} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{p}\left(\mathrm{1}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{n}} \mathrm{dt}−\mathrm{1} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{dt}\:=_{\mathrm{t}=\mathrm{sinx}} \:\:\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \mathrm{cos}^{\mathrm{2n}} \mathrm{x}\:\mathrm{cosx}\:\mathrm{dx} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{cos}^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} \mathrm{xdx}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{cos}^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} \mathrm{x}\:\mathrm{sin}^{\mathrm{o}} \mathrm{x}\:\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{2p}−\mathrm{1}=\mathrm{2n}+\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{2p}=\mathrm{2n}+\mathrm{2}\:\Rightarrow\mathrm{p}=\mathrm{n}+\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{2q}−\mathrm{1}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{q}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{cos}^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} \mathrm{xdx}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \mathrm{cos}^{\mathrm{2}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{1}} \mathrm{sin}^{\mathrm{2}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\mathrm{1}} \mathrm{xdx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{B}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1},\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\frac{\Gamma\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\Gamma\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)}{\Gamma\left(\mathrm{n}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)}=\frac{\mathrm{n}!\sqrt{\pi}}{\mathrm{2}\Gamma\left(\mathrm{n}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)} \\ $$$$..\mathrm{be}\:\mathrm{continued}…. \\ $$

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