Question Number 67538 by mathmax by abdo last updated on 28/Aug/19
$${prove}\:{that}\:\frac{\Gamma^{'} \left({z}\right)}{\Gamma\left({z}\right)}\:=−\gamma−\frac{\mathrm{1}}{{z}}\:−\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \left(\frac{\mathrm{1}}{{z}+{n}}−\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right) \\ $$
Commented by ~ À ® @ 237 ~ last updated on 29/Aug/19
$$ \\ $$$$ \\ $$$${It}\:{is}\:{known}\:{that}\:\Gamma\left({z}+{n}\right)={z}\left({z}+\mathrm{1}\right)\left({z}+\mathrm{2}\right)…..\left({z}+{n}−\mathrm{1}\right)\Gamma\left({z}\right) \\ $$$${So}\:\:{ln}\Gamma\left({z}+{n}\right)={ln}\Gamma\left({z}\right)\:+\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}{ln}\left({z}+{k}\right)\: \\ $$$${Now}\:{we}\:{have} \\ $$$${ln}\Gamma\left({z}\right)={ln}\Gamma\left({z}+{n}\right)−{lnz}−\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}\left[{ln}\left({z}+{k}\right)−\frac{{z}}{{k}}−{lnk}\right]\:\:−\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}\frac{{z}}{{k}}\:−\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}{lnk}\:\:−{zln}\left({n}\right)+{zln}\left({n}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:={ln}\Gamma\left({z}+{n}\right)−{ln}\Gamma\left({n}\right)−{zln}\left({n}\right)−{lnz}−\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}\left[{ln}\left({z}+{k}\right)−\frac{{z}}{{k}}−{lnk}\right]+{z}\left[{ln}\left({n}\right)−\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}}\right]\:\:\:\:\:{cause}\:\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}{lnk}={ln}\left(\left({n}−\mathrm{1}\right)!\right)={ln}\Gamma\left({n}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:={ln}\left[\frac{\Gamma\left({z}+{n}\right)}{{n}^{{z}} \Gamma\left({n}\right)}\right]−{lnz}−\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}\left[{ln}\left({z}+{k}\right)−\frac{{z}}{{k}}−{lnk}\right]+{z}\left({ln}\left({n}\right)−{H}_{{n}−\mathrm{1}} \right)\:\:\:\:\:\:\left(\bullet\right) \\ $$$${Now}\:{let}\:{find}\:{L}=\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\frac{\Gamma\left({z}+{n}\right)}{{n}^{{z}} \Gamma\left({n}\right)}\: \\ $$$${L}=\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\frac{{z}\left({z}+\mathrm{1}\right)…\left({z}+{n}\right)}{{n}^{{z}} \:{n}!}\:\frac{{n}\Gamma\left({z}\right)}{{z}+{n}}\:=\:\mathrm{1}\:\:\:{cause}\:\:\underset{{n}\rightarrow\infty\:} {\mathrm{lim}}\:\frac{{z}\left({z}+\mathrm{1}\right)…\left({z}+{n}\right)}{{n}^{{z}} \:{n}!}\:=\frac{\mathrm{1}}{\Gamma\left({z}\right)}\: \\ $$$${So}\:\:{we}\:{have} \\ $$$$\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:{ln}\Gamma\left({z}\right)={ln}\mathrm{1}−{lnz}−\underset{{k}=\mathrm{1}_{} } {\overset{\infty} {\sum}}\left[{ln}\left({z}+{k}\right)−\frac{{z}}{{k}}−{lnk}\right]−{z}\gamma\:\:\:\:\:\:\:\:\:{cquse}\:\:\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\left({ln}\left({n}\right)\:−{H}_{{n}−\mathrm{1}} \right)=−\gamma \\ $$$${ln}\Gamma\left({z}\right)=−{z}\gamma−{lnz}−\underset{{k}=\mathrm{1}\:} {\overset{\infty} {\sum}}\left[{ln}\left({z}+{k}\right)−\frac{{z}}{{k}}−{lnk}\right] \\ $$$${Finally}\:\:{when}\:{derivating}\:\:{on}\:{z}\:{we}\:{get} \\ $$$$\frac{\Gamma'\left({z}\right)}{\Gamma\left({z}\right)}=−\gamma−\frac{\mathrm{1}}{{z}}−\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{{z}+{k}}−\frac{\mathrm{1}}{{k}}\right) \\ $$$$ \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 29/Aug/19
$${thank}\:{you}\:{sir}. \\ $$