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Prove-this-equation-2-x-1-x-1-2-1-2-2x-1-2-x-1-x-1-

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Question Number 73974 by Raxreedoroid last updated on 17/Nov/19
Prove this equation ((2^(x−1) (x−(1/2))!)/((1/2)!))=(((2x−1)!)/(2^(x−1) (x−1)!))
$$\mathrm{Prove}\:\mathrm{this}\:\mathrm{equation} \\ $$$$\frac{\mathrm{2}^{{x}−\mathrm{1}} \left({x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)!}{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}!}=\frac{\left(\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}\right)!}{\mathrm{2}^{{x}−\mathrm{1}} \left({x}−\mathrm{1}\right)!} \\ $$
Answered by mind is power last updated on 17/Nov/19
Γ(2x)=(2x−1)! β(x,x)=((Γ(x).Γ(x))/(Γ(2x))) β(x,x)=2∫_0 ^(π/2) cos^(2x−1) (t).sin^(2x−1) (t)dt =2∫_0 ^(π/2) .(sin(t)cos(t))^(2x−1) .dt =2∫_0 ^(π/2) (((sin(2t))/2))^(2x−1) dt =(1/2^(2x−2) ).∫_0 ^(π/2) .sin^(2x−1) (2t)dt u=2t⇒β(x,x)=(1/2^(2x−2) ).∫_0 ^π sin^(2x−1) (u)du=(1/2^(2x−2) )∫_0 ^(π/2) sin^(2x−1) (u)du+(1/2^(2x−2) )∫_(π/2) ^π sin^(2x−1) (u)du ∫_0 ^(π/2) sin^(2x−1) (u)du=(1/2)β((1/2),x) ∫_(π/2) ^π sin^(2x−1) (u)du=∫_0 ^(π/2) sin^(2x−1) (u+(π/2))d(u)=(1/2)β(x,(1/2))=(1/2)β((1/2),x) ⇒∫_0 ^π sin^(2x−1) (t)dt=β(x,(1/2)) ⇒β(x,x)=(1/2^(2x−2) ).β(x,(1/2)) ⇔((Γ(x).Γ(x))/(Γ(2x)))=(1/2^(2x−2) ).((Γ(x).Γ((1/2)))/(Γ(x+(1/2))))⇔((Γ(2x))/(Γ(x)2^(x−1) ))=((Γ(x+(1/2)))/(Γ((1/2)))).2^(x−1) Γ(x)=(x−1)!,Γ(x+(1/2))=(x−(1/2))!,Γ(2x)=(2x−1)! ⇔((2^(x−1) .(x−(1/2))!)/(((1/2))!))=(((2x−1)!)/((x−1)!.2^(x−1) ))
$$\Gamma\left(\mathrm{2x}\right)=\left(\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right)! \\ $$$$\beta\left(\mathrm{x},\mathrm{x}\right)=\frac{\Gamma\left(\mathrm{x}\right).\Gamma\left(\mathrm{x}\right)}{\Gamma\left(\mathrm{2x}\right)} \\ $$$$\beta\left(\mathrm{x},\mathrm{x}\right)=\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \mathrm{cos}^{\mathrm{2x}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{t}\right).\mathrm{sin}^{\mathrm{2x}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt} \\ $$$$=\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} .\left(\mathrm{sin}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{cos}\left(\mathrm{t}\right)\right)^{\mathrm{2x}−\mathrm{1}} .\mathrm{dt} \\ $$$$=\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \left(\frac{\mathrm{sin}\left(\mathrm{2t}\right)}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2x}−\mathrm{1}} \mathrm{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2x}−\mathrm{2}} }.\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} .\mathrm{sin}^{\mathrm{2x}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{2t}\right)\mathrm{dt} \\ $$$$\mathrm{u}=\mathrm{2t}\Rightarrow\beta\left(\mathrm{x},\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2x}−\mathrm{2}} }.\int_{\mathrm{0}} ^{\pi} \mathrm{sin}^{\mathrm{2x}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{u}\right)\mathrm{du}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2x}−\mathrm{2}} }\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \mathrm{sin}^{\mathrm{2x}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{u}\right)\mathrm{du}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2x}−\mathrm{2}} }\int_{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} ^{\pi} \mathrm{sin}^{\mathrm{2x}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{u}\right)\mathrm{du} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \mathrm{sin}^{\mathrm{2x}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{u}\right)\mathrm{du}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\beta\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}},\mathrm{x}\right) \\ $$$$\int_{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} ^{\pi} \mathrm{sin}^{\mathrm{2x}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{u}\right)\mathrm{du}=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \mathrm{sin}^{\mathrm{2x}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{u}+\frac{\pi}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{d}\left(\mathrm{u}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\beta\left(\mathrm{x},\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\beta\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}},\mathrm{x}\right) \\ $$$$\Rightarrow\int_{\mathrm{0}} ^{\pi} \mathrm{sin}^{\mathrm{2x}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt}=\beta\left(\mathrm{x},\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\Rightarrow\beta\left(\mathrm{x},\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2x}−\mathrm{2}} }.\beta\left(\mathrm{x},\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\Leftrightarrow\frac{\Gamma\left(\mathrm{x}\right).\Gamma\left(\mathrm{x}\right)}{\Gamma\left(\mathrm{2x}\right)}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2x}−\mathrm{2}} }.\frac{\Gamma\left(\mathrm{x}\right).\Gamma\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)}{\Gamma\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)}\Leftrightarrow\frac{\Gamma\left(\mathrm{2x}\right)}{\Gamma\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{2}^{\mathrm{x}−\mathrm{1}} }=\frac{\Gamma\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)}{\Gamma\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)}.\mathrm{2}^{\mathrm{x}−\mathrm{1}} \\ $$$$\Gamma\left(\mathrm{x}\right)=\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)!,\Gamma\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)=\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)!,\Gamma\left(\mathrm{2x}\right)=\left(\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right)! \\ $$$$\Leftrightarrow\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{x}−\mathrm{1}} .\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)!}{\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)!}=\frac{\left(\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right)!}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)!.\mathrm{2}^{\mathrm{x}−\mathrm{1}} } \\ $$
Commented by Raxreedoroid last updated on 17/Nov/19
My proof is the following (((2n−1)!)/(2^(n−1) (n−1)!))=1,3,15,105,945... Π_(k=1) ^(n−1) 2k+1=1∙3∙5∙7∙9...(2n+1) let u=2k+1 n=1,Π_(k=1) ^0 u=1 n=2,Π_(k=1) ^1 u=1∙3=3 n=3,Π_(k=1) ^2 u=1∙3∙5=15 n=4,Π_(k=1) ^3 u=1∙3∙5∙7=105 n=5,Π_(k=1) ^4 u=945 It′s the same Π_(k=1) ^(n−1) 2k+1=Π_(k=1) ^(n−1) 2(k+(1/2))=(Π_(k=1) ^(n−1) 2)(Π_(k=1) ^(n−1) k+(1/2)) Π_(k=1) ^(n−1) 2=2^(n−1) Π_(k=1) ^(n−1) x+(1/2)=Π_(k=1+(1/2)) ^(n−1+(1/2)) x=(((n−(1/2))!)/((1(1/2)−1)!))=(((n−(1/2))!)/(((1/2))!)) Π_(k=1) ^(n−1) 2x+1=((2^(x−1) (x−(1/2))!)/(((1/2))!))
$$\mathrm{My}\:\mathrm{proof}\:\mathrm{is}\:\mathrm{the}\:\mathrm{following} \\ $$$$\frac{\left(\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}\right)!}{\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} \left({n}−\mathrm{1}\right)!}=\mathrm{1},\mathrm{3},\mathrm{15},\mathrm{105},\mathrm{945}… \\ $$$$\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\prod}}\mathrm{2}{k}+\mathrm{1}=\mathrm{1}\centerdot\mathrm{3}\centerdot\mathrm{5}\centerdot\mathrm{7}\centerdot\mathrm{9}…\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{u}=\mathrm{2}{k}+\mathrm{1} \\ $$$${n}=\mathrm{1},\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{0}} {\prod}}{u}=\mathrm{1} \\ $$$${n}=\mathrm{2},\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{1}} {\prod}}{u}=\mathrm{1}\centerdot\mathrm{3}=\mathrm{3} \\ $$$${n}=\mathrm{3},\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{2}} {\prod}}{u}=\mathrm{1}\centerdot\mathrm{3}\centerdot\mathrm{5}=\mathrm{15} \\ $$$${n}=\mathrm{4},\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{3}} {\prod}}{u}=\mathrm{1}\centerdot\mathrm{3}\centerdot\mathrm{5}\centerdot\mathrm{7}=\mathrm{105} \\ $$$${n}=\mathrm{5},\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{4}} {\prod}}{u}=\mathrm{945} \\ $$$$\mathrm{It}'\mathrm{s}\:\mathrm{the}\:\mathrm{same} \\ $$$$\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\prod}}\mathrm{2}{k}+\mathrm{1}=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\prod}}\mathrm{2}\left({k}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)=\left(\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\prod}}\mathrm{2}\right)\left(\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\prod}}{k}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\prod}}\mathrm{2}=\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} \\ $$$$\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\prod}}{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=\underset{{k}=\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} {\overset{{n}−\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} {\prod}}{x}=\frac{\left({n}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)!}{\left(\mathrm{1}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\mathrm{1}\right)!}=\frac{\left({n}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)!}{\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)!} \\ $$$$\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\prod}}\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}=\frac{\mathrm{2}^{{x}−\mathrm{1}} \left({x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)!}{\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)!} \\ $$
Commented by mind is power last updated on 17/Nov/19
yeah nice this for x∈N
$$\mathrm{yeah}\:\mathrm{nice}\:\mathrm{this}\:\mathrm{for}\:\mathrm{x}\in\mathbb{N}\:\:\: \\ $$
Commented by Raxreedoroid last updated on 17/Nov/19
I am surprised becuase I proved this in a simple way even though I can′t understand most of this
$$\mathrm{I}\:\mathrm{am}\:\mathrm{surprised}\:\mathrm{becuase}\:\mathrm{I}\:\mathrm{proved}\:\mathrm{this} \\ $$$$\mathrm{in}\:\mathrm{a}\:\mathrm{simple}\:\mathrm{way}\:\mathrm{even}\:\mathrm{though}\:\mathrm{I}\:\mathrm{can}'\mathrm{t}\:\mathrm{understand} \\ $$$$\mathrm{most}\:\mathrm{of}\:\mathrm{this} \\ $$
Commented by mind is power last updated on 17/Nov/19
if x∈Nor x∈C?
$$\mathrm{if}\:\mathrm{x}\in\mathbb{N}\mathrm{or}\:\mathrm{x}\in\mathbb{C}? \\ $$

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