Question Number 8402 by rhm last updated on 10/Oct/16
$${Q}.\:\left({cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{66}^{\mathrm{0}} −{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{6}^{\mathrm{0}} \right)\left({cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{48}^{\mathrm{0}} −{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{12}^{\mathrm{0}} \right) \\ $$$$=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}} \\ $$
Answered by sandy_suhendra last updated on 10/Oct/16
$$\mathrm{cos}\:\mathrm{66}°\:=\:\mathrm{sin}\:\mathrm{24}° \\ $$$$\mathrm{cos}\:\mathrm{48}°\:=\:\mathrm{sin}\:\mathrm{42}° \\ $$$$=\left(\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{24}−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{6}\right)\left(\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{42}−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{12}\right) \\ $$$$=\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{24}+\mathrm{sin}\:\mathrm{6}\right)\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{24}−\mathrm{sin}\:\mathrm{6}\right)\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{42}+\mathrm{sin}\:\mathrm{12}\right)\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{42}−\mathrm{sin}\:\mathrm{12}\right) \\ $$$$=\left(\mathrm{2}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{15}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{9}\right)\left(\mathrm{2}\:\mathrm{cos15}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{9}\right)\left(\mathrm{2}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{27}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{15}\right)\left(\mathrm{2}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{27}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{15}\right) \\ $$$$=\left(\mathrm{2}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{15}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{15}\right)\left(\mathrm{2}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{9}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{9}\right)\left(\mathrm{2}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{15}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{15}\right)\left(\mathrm{2}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{27}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{27}\right) \\ $$$$=\mathrm{sin}\:\mathrm{30}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{18}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{30}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{54} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{18}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{54}\:×\frac{\mathrm{cos}\:\mathrm{18}}{\mathrm{cos}\:\mathrm{18}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}×\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{18}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{18}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{54}}{\mathrm{cos}\:\mathrm{18}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}×\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{36}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{54}}{\mathrm{cos}\:\mathrm{18}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}×\frac{\left(−\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{90}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{18}\right)}{\mathrm{cos}\:\mathrm{18}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}×\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\:\mathrm{18}}{\mathrm{cos}\:\mathrm{18}}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}} \\ $$