Question Number 10108 by ridwan balatif last updated on 24/Jan/17
Answered by nume1114 last updated on 24/Jan/17
$${from}\:{Vieta}'{s}\:{fomula}: \\ $$$$\begin{cases}{{x}_{\mathrm{1}} +{x}_{\mathrm{2}} =\mathrm{2}}\\{{x}_{\mathrm{1}} {x}_{\mathrm{2}} =−\mathrm{5}}\end{cases} \\ $$$$ \\ $$$${x}_{\mathrm{1}} ^{{n}+\mathrm{2}} +{x}_{\mathrm{2}} ^{{n}+\mathrm{2}} =\left({x}_{\mathrm{1}} +{x}_{\mathrm{2}} \right)\left({x}_{\mathrm{1}} ^{{n}+\mathrm{1}} +{x}_{\mathrm{2}} ^{{n}+\mathrm{1}} \right)−{x}_{\mathrm{1}} {x}_{\mathrm{2}} \left({x}_{\mathrm{1}} ^{{n}} +{x}_{\mathrm{2}} ^{{n}} \right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{2}\left({x}_{\mathrm{1}} ^{{n}+\mathrm{1}} +{x}_{\mathrm{2}} ^{{n}+\mathrm{1}} \right)+\mathrm{5}\left({x}_{\mathrm{1}} ^{{n}} +{x}_{\mathrm{2}} ^{{n}} \right) \\ $$$${when}\:{n}=\mathrm{2011}: \\ $$$${x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2013}} +{x}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2013}} =\mathrm{2}\left({x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2012}} +{x}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2012}} \right)+\mathrm{5}\left({x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2011}} +{x}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2011}} \right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{2}{B}+\mathrm{5}{A} \\ $$$${n}=\mathrm{2012}: \\ $$$${x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2014}} +{x}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2014}} =\mathrm{2}\left({x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2013}} +{x}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2013}} \right)+\mathrm{5}\left({x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2012}} +{x}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2012}} \right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{2}\left(\mathrm{2}{B}+\mathrm{5}{A}\right)+\mathrm{5}{B} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{9}{B}+\mathrm{10}{A} \\ $$$${n}=\mathrm{2013}: \\ $$$${x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2015}} +{x}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2015}} =\mathrm{2}\left({x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2014}} +{x}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2014}} \right)+\mathrm{5}\left({x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2013}} +{x}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2013}} \right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{2}\left(\mathrm{9}{B}+\mathrm{10}{A}\right)+\mathrm{5}\left(\mathrm{2}{B}+\mathrm{5}{A}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{45}{A}+\mathrm{28}{B} \\ $$
Commented by ridwan balatif last updated on 24/Jan/17
$$\mathrm{wow},\:\mathrm{now}\:\mathrm{i}\:\mathrm{know}\:\mathrm{the}\:\mathrm{solution},\:\mathrm{thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{so}\:\mathrm{much}\:\mathrm{sir} \\ $$