Question Number 132292 by Algoritm last updated on 13/Feb/21
Answered by mathmax by abdo last updated on 13/Feb/21
![(1/([x]))+(1/([2x]))=[x]+(1/3) let [x]=n ⇒n≤x<n+1 ⇒2n≤2x<2n+2 if 2x∈[2n,2n+1[ ⇒x∈[n,n+(1/2)[ ⇒[2x]=2n e⇒(1/n)+(1/(2n))=n+(1/3) ⇒(3/(2n))=n+(1/3) ⇒(9/(2n))=3n+1 ⇒9=2n(3n+1) ⇒ 6n^2 +2n−9=0 →Δ^′ =1−6.(−9) =1+54=55 ⇒n_1 =((−1+(√(54)))/(12)) not solution also n_2 =((−1−(√(54)))/(12)) not solution (n integr!) if 2x∈[2n+1,2n+2[ ⇒x∈[n+(1/2),n+1[ [2x] =2n+1 e⇒(1/n)+(1/(2n+1))=n+(1/3) ⇒((3n+1)/(n(2n+1)))=((3n+1)/3) ⇒ 2n^(2 ) +n =3 ⇒2n^2 +n−3=0 Δ=1−4(2)(−3) =1+24=25 ⇒n_1 =((−1+5)/4)=1 and n_2 =((−1−5)/4)=−(3/2) not solution ⇒n=1 ⇒x∈[(3/2),2[ this is the set of solution](https://www.tinkutara.com/question/Q132314.png)
$$\frac{\mathrm{1}}{\left[\mathrm{x}\right]}+\frac{\mathrm{1}}{\left[\mathrm{2x}\right]}=\left[\mathrm{x}\right]+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:\:\mathrm{let}\:\left[\mathrm{x}\right]=\mathrm{n}\:\Rightarrow\mathrm{n}\leqslant\mathrm{x}<\mathrm{n}+\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{2n}\leqslant\mathrm{2x}<\mathrm{2n}+\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{if}\:\mathrm{2x}\in\left[\mathrm{2n},\mathrm{2n}+\mathrm{1}\left[\:\Rightarrow\mathrm{x}\in\left[\mathrm{n},\mathrm{n}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left[\:\Rightarrow\left[\mathrm{2x}\right]=\mathrm{2n}\right.\right.\right.\right. \\ $$$$\mathrm{e}\Rightarrow\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}}=\mathrm{n}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:\Rightarrow\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2n}}=\mathrm{n}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:\Rightarrow\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{2n}}=\mathrm{3n}+\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{9}=\mathrm{2n}\left(\mathrm{3n}+\mathrm{1}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{6n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2n}−\mathrm{9}=\mathrm{0}\:\:\rightarrow\Delta^{'} \:=\mathrm{1}−\mathrm{6}.\left(−\mathrm{9}\right)\:=\mathrm{1}+\mathrm{54}=\mathrm{55}\:\Rightarrow\mathrm{n}_{\mathrm{1}} =\frac{−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{54}}}{\mathrm{12}} \\ $$$$\mathrm{not}\:\mathrm{solution}\:\:\mathrm{also}\:\mathrm{n}_{\mathrm{2}} =\frac{−\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{54}}}{\mathrm{12}}\:\mathrm{not}\:\mathrm{solution}\:\left(\mathrm{n}\:\mathrm{integr}!\right) \\ $$$$\mathrm{if}\:\mathrm{2x}\in\left[\mathrm{2n}+\mathrm{1},\mathrm{2n}+\mathrm{2}\left[\:\Rightarrow\mathrm{x}\in\left[\mathrm{n}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}},\mathrm{n}+\mathrm{1}\left[\:\:\:\left[\mathrm{2x}\right]\:=\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right.\right.\right.\right. \\ $$$$\mathrm{e}\Rightarrow\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}=\mathrm{n}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:\Rightarrow\frac{\mathrm{3n}+\mathrm{1}}{\mathrm{n}\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)}=\frac{\mathrm{3n}+\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{2n}^{\mathrm{2}\:} +\mathrm{n}\:=\mathrm{3}\:\Rightarrow\mathrm{2n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{n}−\mathrm{3}=\mathrm{0} \\ $$$$\Delta=\mathrm{1}−\mathrm{4}\left(\mathrm{2}\right)\left(−\mathrm{3}\right)\:=\mathrm{1}+\mathrm{24}=\mathrm{25}\:\Rightarrow\mathrm{n}_{\mathrm{1}} =\frac{−\mathrm{1}+\mathrm{5}}{\mathrm{4}}=\mathrm{1}\:\:\mathrm{and}\:\mathrm{n}_{\mathrm{2}} =\frac{−\mathrm{1}−\mathrm{5}}{\mathrm{4}}=−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{not}\:\mathrm{solution}\:\Rightarrow\mathrm{n}=\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{x}\in\left[\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}},\mathrm{2}\left[\:\mathrm{this}\:\mathrm{is}\:\mathrm{the}\:\mathrm{set}\:\mathrm{of}\:\mathrm{solution}\right.\right. \\ $$