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Question-132639

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Question Number 132639 by Ahmed1hamouda last updated on 15/Feb/21
Commented by Ahmed1hamouda last updated on 15/Feb/21
solve the differential equation
$$\mathrm{solve}\:\mathrm{the}\:\mathrm{differential}\:\mathrm{equation} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 15/Feb/21
h→y^((2)) +2y^((1)) +5y =0 →r^2 +2r+5=0 Δ^′ =1−5=−4 ⇒r_1 =−1+2i and r_2 =−1−2i ⇒ y_h =ae^((−1+2i)x) +b e^((−1−2i)x) =e^(−x) {αcos(2x)+βsin(2x)} =αu_1 +βu_2 W(u_1 ,u_2 )= determinant (((e^(−x) cos(2x) e^(−x) sin(2x))),(((−cos(2x)−2sin(2x))e^(−x) (−sin(2x)+2cos(2x))e^(−x) ))) =e^(−2x) {−cos(2x)sin(2x)+2cos^2 (2x)}−e^(−2x) {−cos(2x)sin(2x)−2sin^2 (2x)} =2e^(−2x) ≠0 W_1 = determinant (((o e^(−x) sin(2x))),((6e^(2x) +xsin^2 x+e^x cos(2x) (−sin(2x)+2cos(2x))e^(−x) ))) =−e^(−x) sin(2x){6e^(2x) +xsin^2 x +e^x cos(2x)} =6e^x sin(2x)−xe^(−x) sin(2x)sin^2 x−sin(2x).cos(2x) W_2 = determinant (((e^(−x) cos(2x) 0)),(((−cos(2x)−2sin(2x))e^(−x) 6e^(2x) +xsin^2 x +e^x cos(2x)))) =6e^x cos(2x)+xe^(−x) cos(2x)sin^2 x +cos^2 (2x) V_1 =∫ (W_1 /W)dx =(1/2)∫ e^(2x) {6e^x sin(2x)−xe^(−x) sin(2x)sin^2 x−(1/2)sin(4x)}dx =3∫ e^(3x) sin(2x)dx−(1/2)∫xe^x sin(2x)sin^2 x dx−(1/4)∫e^(2x) sin(4x)dx ∫ e^(3x) sin(2x)dx =Im(∫ e^(3x+2ix) dx)=.... ∫ e^(2x) sin(4x)dx =Im(∫ e^(2x+4ix) dx)=... ∫ xe^x sin(2x)sin^2 (x)dx =∫ xe^x sin(2x)((1−cos(2x))/2)dx =(1/2)∫ xe^x sin(2x)dx−(1/4)∫ xe^x sin(4x)dx = =(1/2)Im(∫ x e^(x+2ix) dx)−(1/4)Im(∫ xe^(x+4ix) dx)=... V_2 =∫(W_2 /W)dx =(1/2)∫ e^(2x) {6e^x cos(2x)+xe^(−x) cos(2x)sin^2 x+cos^2 (2x)} =.... ⇒y_p =u_1 v_1 +u_2 v_2 and general solution is y =y_p +y_h
$$\mathrm{h}\rightarrow\mathrm{y}^{\left(\mathrm{2}\right)} \:+\mathrm{2y}^{\left(\mathrm{1}\right)} \:+\mathrm{5y}\:=\mathrm{0}\:\rightarrow\mathrm{r}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2r}+\mathrm{5}=\mathrm{0} \\ $$$$\Delta^{'} =\mathrm{1}−\mathrm{5}=−\mathrm{4}\:\Rightarrow\mathrm{r}_{\mathrm{1}} =−\mathrm{1}+\mathrm{2i}\:\mathrm{and}\:\mathrm{r}_{\mathrm{2}} =−\mathrm{1}−\mathrm{2i}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{y}_{\mathrm{h}} =\mathrm{ae}^{\left(−\mathrm{1}+\mathrm{2i}\right)\mathrm{x}} +\mathrm{b}\:\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{1}−\mathrm{2i}\right)\mathrm{x}} \:=\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \left\{\alpha\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)+\beta\mathrm{sin}\left(\mathrm{2x}\right)\right\} \\ $$$$=\alpha\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \:+\beta\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{W}\left(\mathrm{u}_{\mathrm{1}} ,\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \right)=\begin{vmatrix}{\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \mathrm{sin}\left(\mathrm{2x}\right)}\\{\left(−\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)−\mathrm{2sin}\left(\mathrm{2x}\right)\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left(−\mathrm{sin}\left(\mathrm{2x}\right)+\mathrm{2cos}\left(\mathrm{2x}\right)\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }\end{vmatrix} \\ $$$$=\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \left\{−\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{sin}\left(\mathrm{2x}\right)+\mathrm{2cos}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2x}\right)\right\}−\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \left\{−\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{sin}\left(\mathrm{2x}\right)−\mathrm{2sin}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2x}\right)\right\} \\ $$$$=\mathrm{2e}^{−\mathrm{2x}} \neq\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{W}_{\mathrm{1}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{o}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \mathrm{sin}\left(\mathrm{2x}\right)}\\{\mathrm{6e}^{\mathrm{2x}} \:+\mathrm{xsin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}+\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)\:\:\:\:\:\:\:\:\left(−\mathrm{sin}\left(\mathrm{2x}\right)+\mathrm{2cos}\left(\mathrm{2x}\right)\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }\end{vmatrix} \\ $$$$=−\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \mathrm{sin}\left(\mathrm{2x}\right)\left\{\mathrm{6e}^{\mathrm{2x}} \:+\mathrm{xsin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\:+\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)\right\} \\ $$$$=\mathrm{6e}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{sin}\left(\mathrm{2x}\right)−\mathrm{xe}^{−\mathrm{x}} \mathrm{sin}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}−\mathrm{sin}\left(\mathrm{2x}\right).\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right) \\ $$$$\mathrm{W}_{\mathrm{2}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}}\\{\left(−\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)−\mathrm{2sin}\left(\mathrm{2x}\right)\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:\:\:\:\mathrm{6e}^{\mathrm{2x}} \:+\mathrm{xsin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\:+\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)}\end{vmatrix} \\ $$$$=\mathrm{6e}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)+\mathrm{xe}^{−\mathrm{x}} \mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\:+\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2x}\right) \\ $$$$\mathrm{V}_{\mathrm{1}} =\int\:\frac{\mathrm{W}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{W}}\mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \left\{\mathrm{6e}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{sin}\left(\mathrm{2x}\right)−\mathrm{xe}^{−\mathrm{x}} \mathrm{sin}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{4x}\right)\right\}\mathrm{dx} \\ $$$$=\mathrm{3}\int\:\mathrm{e}^{\mathrm{3x}} \:\mathrm{sin}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{dx}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\mathrm{xe}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{sin}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\:\mathrm{dx}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \:\mathrm{sin}\left(\mathrm{4x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\int\:\mathrm{e}^{\mathrm{3x}} \:\mathrm{sin}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{dx}\:=\mathrm{Im}\left(\int\:\mathrm{e}^{\mathrm{3x}+\mathrm{2ix}} \mathrm{dx}\right)=…. \\ $$$$\int\:\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \:\mathrm{sin}\left(\mathrm{4x}\right)\mathrm{dx}\:=\mathrm{Im}\left(\int\:\mathrm{e}^{\mathrm{2x}+\mathrm{4ix}} \mathrm{dx}\right)=… \\ $$$$\int\:\mathrm{xe}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{sin}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\:=\int\:\mathrm{xe}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{sin}\left(\mathrm{2x}\right)\frac{\mathrm{1}−\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)}{\mathrm{2}}\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\mathrm{xe}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{sin}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{dx}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int\:\mathrm{xe}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{sin}\left(\mathrm{4x}\right)\mathrm{dx}\:= \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{Im}\left(\int\:\mathrm{x}\:\mathrm{e}^{\mathrm{x}+\mathrm{2ix}} \mathrm{dx}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{Im}\left(\int\:\mathrm{xe}^{\mathrm{x}+\mathrm{4ix}} \mathrm{dx}\right)=… \\ $$$$\mathrm{V}_{\mathrm{2}} =\int\frac{\mathrm{W}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{W}}\mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \left\{\mathrm{6e}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)+\mathrm{xe}^{−\mathrm{x}} \:\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}+\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2x}\right)\right\} \\ $$$$=….\:\:\Rightarrow\mathrm{y}_{\mathrm{p}} =\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \mathrm{v}_{\mathrm{1}} +\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \mathrm{v}_{\mathrm{2}} \:\mathrm{and}\:\mathrm{general}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{is} \\ $$$$\mathrm{y}\:=\mathrm{y}_{\mathrm{p}} \:+\mathrm{y}_{\mathrm{h}} \\ $$

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