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Question-133353

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Question Number 133353 by Ahmed1hamouda last updated on 21/Feb/21
Commented by Ahmed1hamouda last updated on 21/Feb/21
solve the differential equations
$$\:\boldsymbol{{solve}}\:\boldsymbol{{the}}\:\boldsymbol{{differential}}\:\boldsymbol{{equation}}\mathrm{s} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 21/Feb/21
2)y^(′′) +y^′ +y=(1+sinx)^2 h)→r^2 +r+1 =0 →Δ=−3 ⇒r_1 =((−1+i(√3))/2) and r_2 =((−1−i(√3))/2) ⇒y_h =a e^((((−1+i(√3))/2))x) +be^((((−1−i(√3))/2))x) =e^(−(x/2)) {αcos(((√3)/2)x)+βsin(((√3)/2)x)} =αu_1 +βu_2 W(u_1 ,u_2 )= determinant ((( e^(−(x/2)) cos(((√3)/2)x) e^(−(x/2)) sin(((√3)/2)x))),((e^(−(x/2)) (−(1/2)cos(((√3)/2)x)−((√3)/2)sin(((√3)/2)x)) e^(−(x/2)) (−(1/2)sin(((√3)/2)x)+((√3)/2)cos(((√3)/2)x)))) =e^(−x) {−(1/2)cos(((√3)/2)x)sin(((√3)/2)x)+((√3)/2)cos^2 (((√3)/2)x)} −e^(−x) {−(1/2)cos(((√3)/2)x)sin(((√3)/2)x)−((√3)/2)sin^2 (((√3)/2)x)} =((√3)/2)e^(−x) ≠0 W_1 = determinant (((o e^(−(x/2)) sin(((√3)/2)x))),(((1+sinx)^2 e^(−(x/2)) (−(1/2)sin(((√3)/2)x)+((√3)/2)cos(((√3)/2)x)))) =−e^(−(x/2)) (1+sinx)^2 sin(((√3)/2)x) W_2 = determinant (((e^(−(x/2)) cos(((√3)/2)x) 0)),((e^(−(x/2)) (....) (1+sinx)^2 ))) =e^(−(x/2)) (1+sinx)^2 cos(((√3)/2)x) V_1 =∫ (W_1 /W)dx =−∫ ((e^(−(x/2)) (1+sinx)^2 sin(((√3)/2)x))/(((√3)/2)e^(−x) )) =−(2/( (√3)))∫ e^(x/2) (1+sinx)^2 sin(((√3)/2)x) =−(2/( (√3)))∫ e^(x/2) (1+2sinx +((1−cos(2x))/2))sin(((√3)/2)x)dx =−(1/( (√3)))∫ e^(x/2) {3+4sinx −cos(2x))}sin(((√3)/2)x)dx =−(√3)∫ e^(x/2) sin(((√3)/2)x)dx−(4/( (√3)))∫ e^(x/2) sinx sin(((√3)/2)x)dx+(1/( (√3)))∫ e^(x/2) cos(2x)sin(((√3)/2)x)dx =.... V_2 =∫ (W_2 /W)dx =∫ ((e^(−(x/2)) (1+sinx)^2 cos(((√3)/2)x))/(((√3)/2)e^(−x) )) =(2/( (√3)))∫ e^(x/2) (1+2sinx +((1−cos(2x))/2))cos(((√3)/2)x)dx =(1/( (√3)))∫ e^(x/2) (3+4sinx−cos(2x))cos(((√3)/2)x)dx=..... ⇒y_p =u_1 v_1 +u_2 v_2 and general solution is y =y_p +y_h
$$\left.\mathrm{2}\right)\mathrm{y}^{''} +\mathrm{y}^{'} +\mathrm{y}=\left(\mathrm{1}+\mathrm{sinx}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\left.\mathrm{h}\right)\rightarrow\mathrm{r}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{r}+\mathrm{1}\:=\mathrm{0}\:\rightarrow\Delta=−\mathrm{3}\:\Rightarrow\mathrm{r}_{\mathrm{1}} =\frac{−\mathrm{1}+\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{and}\:\mathrm{r}_{\mathrm{2}} =\frac{−\mathrm{1}−\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}_{\mathrm{h}} =\mathrm{a}\:\mathrm{e}^{\left(\frac{−\mathrm{1}+\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}} \:+\mathrm{be}^{\left(\frac{−\mathrm{1}−\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}} \:=\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \left\{\alpha\mathrm{cos}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)+\beta\mathrm{sin}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)\right\} \\ $$$$=\alpha\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \:+\beta\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{W}\left(\mathrm{u}_{\mathrm{1}} ,\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \right)=\begin{vmatrix}{\:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \mathrm{cos}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{sin}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)}\\{\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)−\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{sin}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)\right)\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{sin}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)+\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)\right.}\end{vmatrix} \\ $$$$=\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \left\{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)\mathrm{sin}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)+\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)\right\} \\ $$$$−\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \left\{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)\mathrm{sin}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)−\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)\right\} \\ $$$$=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:\neq\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{W}_{\mathrm{1}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{o}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{sin}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)}\\{\left(\mathrm{1}+\mathrm{sinx}\right)^{\mathrm{2}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{sin}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)+\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)\right.}\end{vmatrix} \\ $$$$=−\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{sinx}\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{sin}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{W}_{\mathrm{2}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{cos}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}}\\{\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \left(….\right)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{1}+\mathrm{sinx}\right)^{\mathrm{2}} }\end{vmatrix} \\ $$$$=\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \:\left(\mathrm{1}+\mathrm{sinx}\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{cos}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{V}_{\mathrm{1}} =\int\:\frac{\mathrm{W}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{W}}\mathrm{dx}\:=−\int\:\:\:\frac{\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{sinx}\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{sin}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)}{\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} } \\ $$$$=−\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\int\:\:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{sinx}\right)^{\mathrm{2}} \:\mathrm{sin}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right) \\ $$$$=−\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\int\:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{2sinx}\:+\frac{\mathrm{1}−\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{sin}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\left.=−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\int\:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \left\{\mathrm{3}+\mathrm{4sinx}\:−\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)\right)\right\}\mathrm{sin}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=−\sqrt{\mathrm{3}}\int\:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{sin}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}−\frac{\mathrm{4}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\int\:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{sinx}\:\mathrm{sin}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\int\:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{sin}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=…. \\ $$$$\mathrm{V}_{\mathrm{2}} =\int\:\frac{\mathrm{W}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{W}}\mathrm{dx}\:=\int\:\frac{\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{sinx}\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{cos}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)}{\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\int\:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{2sinx}\:+\frac{\mathrm{1}−\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{cos}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\int\:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \left(\mathrm{3}+\mathrm{4sinx}−\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)\right)\mathrm{cos}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=….. \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}_{\mathrm{p}} =\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \mathrm{v}_{\mathrm{1}} \:+\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \mathrm{v}_{\mathrm{2}} \:\mathrm{and}\:\mathrm{general}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{is} \\ $$$$\mathrm{y}\:=\mathrm{y}_{\mathrm{p}} \:+\mathrm{y}_{\mathrm{h}} \\ $$

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