Question Number 134052 by shaker last updated on 27/Feb/21
Answered by mathmax by abdo last updated on 27/Feb/21
$$\mathrm{I}\:=\int\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{x}^{\mathrm{6}} \:+\mathrm{3}}\mathrm{dx}\:\:\Rightarrow\mathrm{I}\:=\int\:\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{x}^{\mathrm{6}} \:+\left(\mathrm{3}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}} \right)^{\mathrm{6}} }\mathrm{dx}\:=_{\mathrm{x}=\mathrm{3}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}} \mathrm{t}} \:\:\int\:\frac{\mathrm{3}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \mathrm{t}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{6}} \right)}\:\mathrm{3}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}} \:\mathrm{dt} \\ $$$$=\mathrm{3}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}−\mathrm{1}} \:\int\:\:\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{t}^{\mathrm{6}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dt}\:=\mathrm{3}^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} \:\int\:\:\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{t}^{\mathrm{6}} \:+\mathrm{1}}\:\mathrm{dt}\:\: \\ $$$$\mathrm{z}^{\mathrm{6}} \:+\mathrm{1}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{z}^{\mathrm{6}} \:=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\pi+\mathrm{2k}\pi\right)} \:=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\mathrm{2k}+\mathrm{1}\right)\pi} \:\Rightarrow\mathrm{z}_{\mathrm{k}} =\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\left(\mathrm{2k}+\mathrm{1}\right)\pi}{\mathrm{6}}} \:\mathrm{and} \\ $$$$\mathrm{k}\in\left[\left[\mathrm{0},\mathrm{5}\right]\right]\:\Rightarrow\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{t}^{\mathrm{6}} \:+\mathrm{1}}\:=\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{3}} }{\prod_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{5}} \left(\mathrm{t}−\mathrm{z}_{\mathrm{k}} \right)}=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{5}} \:\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{k}} }{\mathrm{t}−\mathrm{z}_{\mathrm{k}} } \\ $$$$\mathrm{a}_{\mathrm{k}} =\frac{\mathrm{z}_{\mathrm{k}} ^{\mathrm{3}} }{\mathrm{6z}_{\mathrm{k}} ^{\mathrm{5}} }\:=\frac{\mathrm{z}_{\mathrm{k}} ^{\mathrm{4}} }{−\mathrm{6}}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\:\mathrm{z}_{\mathrm{k}} ^{\mathrm{4}} \:\Rightarrow\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{t}^{\mathrm{6}} \:+\mathrm{1}}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{5}} \:\frac{\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\left(\mathrm{2k}+\mathrm{1}\right)\mathrm{2}\pi}{\mathrm{3}}} }{\mathrm{t}−\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\left(\mathrm{2k}+\mathrm{1}\right)\pi}{\mathrm{6}}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\int\:\:\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{6}} }\mathrm{dt}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{5}} \:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{2}\pi\mathrm{i}\left(\mathrm{2k}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{3}}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{t}−\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\left(\mathrm{2k}+\mathrm{1}\right)\pi}{\mathrm{6}}} \right)\:+\mathrm{C} \\ $$