Question Number 134822 by abdurehime last updated on 07/Mar/21
Answered by greg_ed last updated on 07/Mar/21
$$\mathrm{p}=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\:\frac{{x}^{\mathrm{4}} −\sqrt{{x}}}{\:\sqrt{{x}}−\mathrm{1}} \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{by}}\:\boldsymbol{\mathrm{L}}'\boldsymbol{\mathrm{Hopital}}'\boldsymbol{\mathrm{s}}\:\boldsymbol{\mathrm{rule}} \\ $$$$\mathrm{p}=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{4}{x}^{\mathrm{3}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{{x}}}}{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\:\sqrt{{x}}}}\: \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{plug}}\:\boldsymbol{\mathrm{in}}\:\boldsymbol{{x}}=\mathrm{1} \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\:\frac{{x}^{\mathrm{4}} −\sqrt{{x}}}{\:\sqrt{{x}}−\mathrm{1}}=\mathrm{7} \\ $$
Answered by EDWIN88 last updated on 07/Mar/21
$$\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\sqrt{\mathrm{x}}}{\:\sqrt{\mathrm{x}}−\mathrm{1}}\: \\ $$$$\mathrm{let}\:\sqrt{\mathrm{x}}\:=\:\mathrm{u}\:\mathrm{then}\:\underset{\mathrm{u}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{u}^{\mathrm{8}} −\mathrm{u}}{\mathrm{u}−\mathrm{1}}\:=\:\underset{\mathrm{u}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{u}\left(\mathrm{u}^{\mathrm{7}} −\mathrm{1}\right)}{\mathrm{u}−\mathrm{1}} \\ $$$$=\:\underset{\mathrm{u}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\:\mathrm{u}\left(\mathrm{u}^{\mathrm{6}} +\mathrm{u}^{\mathrm{5}} +\mathrm{u}^{\mathrm{4}} +\mathrm{u}^{\mathrm{3}} +\mathrm{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{u}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$=\:\mathrm{1}×\underset{\mathrm{7}\:\mathrm{times}} {\underbrace{\left(\mathrm{1}+\mathrm{1}+\mathrm{1}+…+\mathrm{1}\right)}}\:=\:\mathrm{7}×\mathrm{1}\:=\:\mathrm{7} \\ $$
Answered by EDWIN88 last updated on 07/Mar/21
$$\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\frac{\sqrt{\mathrm{9x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}+\mathrm{5}}\:=\:\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\sqrt{\mathrm{9}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} }}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\right)} \\ $$$$=\:\underset{\mathrm{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\frac{\sqrt{\mathrm{9}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}\:;\:\mathrm{let}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\:=\:\mathrm{t}\:\mathrm{and}\:\mathrm{t}\rightarrow\mathrm{0} \\ $$$$=\:\underset{\mathrm{t}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\sqrt{\mathrm{9}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{1}−\mathrm{3t}+\mathrm{5t}^{\mathrm{2}} }\:=\:\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{1}}=\:\mathrm{3} \\ $$