Question Number 135342 by Algoritm last updated on 12/Mar/21
Commented by Algoritm last updated on 12/Mar/21
$$\frac{\mathrm{d}^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{y}\right)}{\mathrm{dx}^{\mathrm{n}} }=? \\ $$
Answered by Ñï= last updated on 12/Mar/21
$${y}=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{k}−\mathrm{1}} }{{k}}{x}^{\mathrm{2}{k}} \\ $$$$\frac{{d}^{{n}} {y}}{{dx}^{{n}} }=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{k}−\mathrm{1}} }{{k}}{A}_{\mathrm{2}{k}} ^{{n}} {x}^{\mathrm{2}{k}−{n}} \\ $$
Answered by mr W last updated on 12/Mar/21
$${y}=\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} \right)=\mathrm{ln}\:\left({x}+{i}\right)+\mathrm{ln}\:\left({x}−{i}\right) \\ $$$${y}'=\left({x}+{i}\right)^{−\mathrm{1}} +\left({x}−{i}\right)^{−\mathrm{1}} \\ $$$${y}''=\left(−\mathrm{1}\right)\left({x}+{i}\right)^{−\mathrm{2}} +\left(−\mathrm{1}\right)\left({x}−{i}\right)^{−\mathrm{2}} \\ $$$${y}'''=\left(−\mathrm{1}\right)\left(−\mathrm{2}\right)\left({x}+{i}\right)^{−\mathrm{3}} +\left(−\mathrm{1}\right)\left(−\mathrm{2}\right)\left({x}−{i}\right)^{−\mathrm{3}} \\ $$$$… \\ $$$${y}^{\left({n}\right)} =\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} \left({n}−\mathrm{1}\right)!\left[\left({x}+{i}\right)^{−{n}} +\left({x}−{i}\right)^{−{n}} \right] \\ $$$${y}^{\left({n}\right)} =\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} \left({n}−\mathrm{1}\right)!\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} \right)^{−\frac{{n}}{\mathrm{2}}} \left[{e}^{{in}\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{{x}}} +{e}^{−{in}\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{{x}}} \right] \\ $$$$\Rightarrow{y}^{\left({n}\right)} =\mathrm{2}\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} \left({n}−\mathrm{1}\right)!\frac{\mathrm{cos}\:\left({n}\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)}{\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\frac{{n}}{\mathrm{2}}} } \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 03/Apr/21
$$\mathrm{y}=\mathrm{log}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\:\Rightarrow\mathrm{y}^{'} \:=\frac{\mathrm{2x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{i}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{i}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{y}^{\left(\mathrm{n}\right)} \:=\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{i}}\right)^{\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)} \:+\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{i}}\right)^{\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)} \:\:\:\:\left(\mathrm{n}\geqslant\mathrm{1}\right) \\ $$$$=\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)!}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{i}\right)^{\mathrm{n}} }+\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)!}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{i}\right)^{\mathrm{n}} } \\ $$$$=\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)!\left\{\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{i}\right)^{\mathrm{n}} }+\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{i}\right)^{\mathrm{n}} }\right\} \\ $$$$=\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)!×\frac{\left(\mathrm{x}−\mathrm{i}\right)^{\mathrm{n}} +\left(\mathrm{x}+\mathrm{i}\right)^{\mathrm{n}} }{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} } \\ $$$$\mathrm{but}\:\:\left(\mathrm{x}−\mathrm{i}\right)^{\mathrm{n}} \:+\left(\mathrm{x}+\mathrm{i}\right)^{\mathrm{n}} \:=\mathrm{2Res}\left(\mathrm{x}+\mathrm{i}\right)^{\mathrm{n}} \\ $$$$\mathrm{x}+\mathrm{i}\:=\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{e}^{\mathrm{iarctan}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)} \:\Rightarrow \\ $$$$\left(\mathrm{x}+\mathrm{i}\right)^{\mathrm{n}} \:=\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{e}^{\mathrm{inarctan}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)} \:\Rightarrow\mathrm{Re}\left(\mathrm{x}+\mathrm{i}\right)^{\mathrm{n}} \:=\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{cos}\left(\mathrm{narctan}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{y}^{\left(\mathrm{n}\right)} \left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)!}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{2}}} }\:\mathrm{cos}\left(\mathrm{narctan}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)\right) \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 03/Apr/21
$$\mathrm{sorry}\:\mathrm{y}^{\left(\mathrm{n}\right)} \left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{2}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)!}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{2}}} }\:\mathrm{cos}\left(\mathrm{narctan}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)\right) \\ $$