Question Number 135402 by mohammad17 last updated on 12/Mar/21
Answered by Ñï= last updated on 13/Mar/21
$${y}_{{p}} =\frac{\mathrm{1}}{{D}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{D}+\mathrm{2}}\left(\mathrm{4}{xe}^{{x}} \mathrm{co}{s}\:{x}+{xe}^{−{x}} +{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{1}>>\frac{\mathrm{1}}{{D}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{D}+\mathrm{2}}\mathrm{4}{xe}^{{x}} {cos}\:{x}=\mathrm{2}\frac{\mathrm{1}}{{D}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{D}+\mathrm{2}}{e}^{{x}} \left({e}^{{ix}} +{e}^{−{ix}} \right){x} \\ $$$$=\mathrm{2}\left\{{e}^{\left(\mathrm{1}+{i}\right){x}} \frac{\mathrm{1}}{\left({D}+\mathrm{1}+{i}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left({D}+\mathrm{1}+{i}\right)+\mathrm{2}}{x}+{e}^{\left(\mathrm{1}−{i}\right){x}} \frac{\mathrm{1}}{\left({D}+\mathrm{1}−{i}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left({D}+\mathrm{1}−{i}\right)+\mathrm{2}}{x}\right\} \\ $$$$=\mathrm{2}\left\{{e}^{\left(\mathrm{1}+{i}\right){x}} \frac{\mathrm{1}}{\left({D}+\mathrm{2}{i}\right){D}}{x}+{e}^{\left(\mathrm{1}−{i}\right){x}} \frac{\mathrm{1}}{\left({D}−\mathrm{2}{i}\right){D}}{x}\right\}=\left\{{e}^{\left(\mathrm{1}+{i}\right){x}} \frac{\mathrm{1}}{{D}+\mathrm{2}{i}}{x}^{\mathrm{2}} +{e}^{\left(\mathrm{1}−{i}\right){x}} \frac{\mathrm{1}}{{D}−\mathrm{2}{i}}{x}^{\mathrm{2}} \right\} \\ $$$$={e}^{\left(\mathrm{1}+{i}\right){x}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{i}\left(\mathrm{1}+\frac{{D}}{\mathrm{2}{i}}\right)}{x}^{\mathrm{2}} −{e}^{\left(\mathrm{1}−{i}\right){x}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{i}\left(\mathrm{1}−\frac{{D}}{\mathrm{2}{i}}\right)}{x}^{\mathrm{2}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{i}}{e}^{\left(\mathrm{1}+{i}\right){x}} \left\{\mathrm{1}+\left(−\frac{{D}}{\mathrm{2}{i}}\right)+\left(−\frac{{D}}{\mathrm{2}{i}}\right)^{\mathrm{2}} \right\}{x}^{\mathrm{2}} −\frac{{e}^{\left(\mathrm{1}−{i}\right){x}} }{\mathrm{2}{i}}\left\{\mathrm{1}+\left(\frac{{D}}{\mathrm{2}{i}}\right)+\left(\frac{{D}}{\mathrm{2}{i}}\right)^{\mathrm{2}} \right\}{x}^{\mathrm{2}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{i}}{e}^{\left(\mathrm{1}+{i}\right){x}} \left\{{x}^{\mathrm{2}} −\frac{{x}}{{i}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right\}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{i}}{e}^{\left(\mathrm{1}−{i}\right){x}} \left\{{x}^{\mathrm{2}} +\frac{{x}}{{i}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right\} \\ $$$$={e}^{\left(\mathrm{1}+{i}\right){x}} \left\{\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}{i}}+\frac{{x}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}{i}}\right\}+{e}^{\left(\mathrm{1}−{i}\right){x}} \left\{−\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}{i}}+\frac{{x}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}{i}}\right\} \\ $$$$={e}^{{x}} \left\{{e}^{{ix}} \frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}{i}}+{e}^{{ix}} \frac{{x}}{\mathrm{2}}−{e}^{{ix}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}{i}}−{e}^{−{ix}} \frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}{i}}+{e}^{−{ix}} \frac{{x}}{\mathrm{2}}+{e}^{−{ix}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}{i}}\right\} \\ $$$$={e}^{{x}} \left({x}\mathrm{cos}\:{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{sin}\:{x}+{x}^{\mathrm{2}} {sin}\:{x}\right) \\ $$$$\mathrm{2}>>\frac{\mathrm{1}}{{D}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{D}+\mathrm{2}}{xe}^{−{x}} ={e}^{−{x}} \frac{\mathrm{1}}{\left({D}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left({D}−\mathrm{1}\right)+\mathrm{2}}{x} \\ $$$$={e}^{−{x}} \frac{\mathrm{1}}{{D}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{D}+\mathrm{5}}{x}={e}^{−{x}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}\left(\mathrm{1}+\frac{{D}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{5}}−\frac{\mathrm{4}{D}}{\mathrm{5}}\right)}{x} \\ $$$$=\frac{{e}^{−{x}} }{\mathrm{5}}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{4}{D}}{\mathrm{5}}−\frac{{D}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{5}}\right){x}=\frac{{e}^{−{x}} }{\mathrm{5}}\left({x}+\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{5}}\right) \\ $$$$\mathrm{3}>>\frac{\mathrm{1}}{{D}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{D}+\mathrm{2}}\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−{D}+\frac{{D}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\right)}\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}+{D}−\frac{{D}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}+\left({D}−\frac{{D}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +…\right)\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}+{D}+\frac{{D}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}+…\right)\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}+\mathrm{2}\right) \\ $$$${y}_{{p}} ={e}^{{x}} \left({x}\mathrm{cos}\:{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{sin}\:{x}+{x}^{\mathrm{2}} {sin}\:{x}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\left({x}+\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{5}}\right){e}^{−{x}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}\right) \\ $$$$\lambda^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\lambda+\mathrm{2}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\lambda=\mathrm{1}\pm{i} \\ $$$$\Rightarrow{y}_{{h}} ={e}^{{x}} \left({C}_{\mathrm{1}} '\mathrm{sin}\:{x}+{C}_{\mathrm{2}} \mathrm{cos}\:{x}\right) \\ $$$${y}={y}_{{h}} +{y}_{{p}} ={e}^{{x}} \left({C}_{\mathrm{1}} \mathrm{sin}\:{x}+{C}_{\mathrm{2}} \mathrm{cos}\:{x}+{x}\mathrm{cos}\:{x}+{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{sin}\:{x}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\left({x}+\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{5}}\right){e}^{−{x}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}+\mathrm{2}\right) \\ $$