Question Number 136597 by Dwaipayan Shikari last updated on 23/Mar/21
Answered by mr W last updated on 23/Mar/21
Commented by otchereabdullai@gmail.com last updated on 25/Mar/21
$$\mathrm{The}\:\mathrm{Gifted}\:\mathrm{prof}\:\mathrm{W}! \\ $$
Commented by mr W last updated on 23/Mar/21
$${A}_{\mathrm{0}} {A}_{\mathrm{1}} ={A}_{\mathrm{1}} {A}_{\mathrm{2}} =…={A}_{\mathrm{6}} {A}_{\mathrm{7}} ={a}=\mathrm{2}×\mathrm{sin}\:\frac{\pi}{\mathrm{14}} \\ $$$${A}_{\mathrm{0}} {A}_{\mathrm{7}} =\mathrm{2} \\ $$$${A}_{\mathrm{0}} {A}_{\mathrm{6}} =\mathrm{2}×\mathrm{cos}\:\frac{\pi}{\mathrm{14}} \\ $$$${A}_{\mathrm{0}} {A}_{\mathrm{5}} =\mathrm{2}×\mathrm{cos}\:\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{14}} \\ $$$${A}_{\mathrm{0}} {A}_{\mathrm{4}} =\mathrm{2}×\mathrm{cos}\:\frac{\mathrm{3}\pi}{\mathrm{14}} \\ $$$${A}_{\mathrm{0}} {A}_{\mathrm{3}} =\mathrm{2}×\mathrm{cos}\:\frac{\mathrm{4}\pi}{\mathrm{14}} \\ $$$${A}_{\mathrm{0}} {A}_{\mathrm{2}} =\mathrm{2}×\mathrm{cos}\:\frac{\mathrm{5}\pi}{\mathrm{14}} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{r}_{\mathrm{6}} \left({A}_{\mathrm{0}} {A}_{\mathrm{7}} +{A}_{\mathrm{0}} {A}_{\mathrm{6}} +{A}_{\mathrm{6}} {A}_{\mathrm{7}} \right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{A}_{\mathrm{0}} {A}_{\mathrm{7}} ×{A}_{\mathrm{0}} {A}_{\mathrm{6}} ×\mathrm{sin}\:\frac{\pi}{\mathrm{14}} \\ $$$${r}_{\mathrm{6}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{cos}\:\frac{\pi}{\mathrm{14}}+\mathrm{sin}\:\frac{\pi}{\mathrm{14}}\right)=\mathrm{2}\:\mathrm{cos}\:\frac{\pi}{\mathrm{14}}\:\mathrm{sin}\:\frac{\pi}{\mathrm{14}} \\ $$$${r}_{\mathrm{5}} \left(\mathrm{cos}\:\frac{\pi}{\mathrm{14}}+\mathrm{cos}\:\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{14}}+\mathrm{sin}\:\frac{\pi}{\mathrm{14}}\right)=\mathrm{2}\:\mathrm{cos}\:\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{14}}\mathrm{cos}\:\frac{\pi}{\mathrm{14}}\:\mathrm{sin}\:\frac{\pi}{\mathrm{14}} \\ $$$${r}_{\mathrm{4}} \left(\mathrm{cos}\:\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{14}}+\mathrm{cos}\:\frac{\mathrm{3}\pi}{\mathrm{14}}+\mathrm{sin}\:\frac{\pi}{\mathrm{14}}\right)=\mathrm{2}\:\mathrm{cos}\:\frac{\mathrm{3}\pi}{\mathrm{14}}\mathrm{cos}\:\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{14}}\:\mathrm{sin}\:\frac{\pi}{\mathrm{14}} \\ $$$${r}_{\mathrm{3}} \left(\mathrm{cos}\:\frac{\mathrm{3}\pi}{\mathrm{14}}+\mathrm{cos}\:\frac{\mathrm{4}\pi}{\mathrm{14}}+\mathrm{sin}\:\frac{\pi}{\mathrm{14}}\right)=\mathrm{2}\:\mathrm{cos}\:\frac{\mathrm{4}\pi}{\mathrm{14}}\mathrm{cos}\:\frac{\mathrm{3}\pi}{\mathrm{14}}\:\mathrm{sin}\:\frac{\pi}{\mathrm{14}} \\ $$$${r}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{cos}\:\frac{\mathrm{4}\pi}{\mathrm{14}}+\mathrm{cos}\:\frac{\mathrm{5}\pi}{\mathrm{14}}+\mathrm{sin}\:\frac{\pi}{\mathrm{14}}\right)=\mathrm{2}\:\mathrm{cos}\:\frac{\mathrm{5}\pi}{\mathrm{14}}\mathrm{cos}\:\frac{\mathrm{4}\pi}{\mathrm{14}}\:\mathrm{sin}\:\frac{\pi}{\mathrm{14}} \\ $$$${r}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{cos}\:\frac{\mathrm{5}\pi}{\mathrm{14}}+\mathrm{cos}\:\frac{\mathrm{6}\pi}{\mathrm{14}}+\mathrm{sin}\:\frac{\pi}{\mathrm{14}}\right)=\mathrm{2}\:\mathrm{cos}\:\frac{\mathrm{6}\pi}{\mathrm{14}}\mathrm{cos}\:\frac{\mathrm{5}\pi}{\mathrm{14}}\:\mathrm{sin}\:\frac{\pi}{\mathrm{14}} \\ $$$${sum}\:{area}\:{of}\:{small}\:{circles}: \\ $$$${S}=\pi\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{6}} {\sum}}{r}_{{n}} ^{\mathrm{2}} =\mathrm{0}.\mathrm{4076}\:\mathrm{5528}\:\mathrm{1334}\:\mathrm{5393} \\ $$$$\lfloor\mathrm{10}^{\mathrm{4}} {S}\rfloor=\mathrm{4076}\:\mathrm{5528}\:\mathrm{1334}\:\mathrm{53} \\ $$$${sum}\:{of}\:{digits}=\mathrm{57} \\ $$
Commented by Dwaipayan Shikari last updated on 24/Mar/21
$${Great}\:{sir}!\:{thanks}!\: \\ $$