Question Number 137069 by 0731619177 last updated on 29/Mar/21
Answered by Ñï= last updated on 29/Mar/21
$$\left(\mathrm{1}\right){y}_{{p}} =\frac{\mathrm{1}}{{D}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{D}+\mathrm{5}}\left(\mathrm{6sin}\:\mathrm{2}{x}+\mathrm{7cos}\:\mathrm{2}{x}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{D}+\mathrm{1}}\left(\mathrm{6sin}\:\mathrm{2}{x}+\mathrm{7cos}\:\mathrm{2}{x}\right)=\frac{\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}{D}\right)}{\mathrm{9}}\left(\mathrm{6sin}\:\mathrm{2}\boldsymbol{{x}}+\mathrm{7cos}\:\mathrm{2}{x}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}}\left(\mathrm{31cos}\:\mathrm{2}{x}−\mathrm{22sin}\:\mathrm{2}{x}\right) \\ $$$${y}={e}^{−{x}} \left({C}_{\mathrm{1}} \mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}+{C}_{\mathrm{2}} \mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}}\left(\mathrm{31cos}\:\mathrm{2}{x}−\mathrm{22sin}\:\mathrm{2}{x}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{3}\right){y}_{{p}} =\frac{\mathrm{1}}{{D}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{D}+\mathrm{1}}{e}^{{x}} \mathrm{cos}\:{x}={e}^{{x}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}{D}+\mathrm{3}}\mathrm{cos}\:{x}={e}^{{x}} \frac{\mathrm{3}−\mathrm{4}{D}}{\mathrm{25}}\mathrm{cos}\:{x} \\ $$$$={e}^{{x}} \left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{25}}\mathrm{cos}\:{x}+\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{25}}\mathrm{sin}\:{x}\right) \\ $$$${y}=\left({C}_{\mathrm{1}} +{xC}_{\mathrm{2}} \right){e}^{{x}} +{e}^{{x}} \left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{25}}\mathrm{cos}\:{x}+\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{25}}\mathrm{sin}\:{x}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{9}\right){y}_{{p}} =\frac{\mathrm{1}}{{D}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{D}+\mathrm{2}}\left(\mathrm{4}{e}^{−{x}} {x}^{\mathrm{2}} \mathrm{sin}\:{x}+\mathrm{3}{e}^{−{x}} \mathrm{cos}\:{x}\right) \\ $$$$={e}^{−{x}} \frac{\mathrm{1}}{{D}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\left(\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{sin}\:{x}+\mathrm{3cos}\:{x}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}}{{i}}{e}^{−{x}} \frac{\mathrm{1}}{{D}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{x}^{\mathrm{2}} \left({e}^{{ix}} −{e}^{−{ix}} \right)+{xe}^{−{x}} \frac{\mathrm{3}}{\left({D}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)'}\mathrm{cos}\:{x} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}}{{i}}{e}^{−{x}} \left\{{e}^{{ix}} \frac{\mathrm{1}}{\left({D}+{i}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{x}^{\mathrm{2}} −{e}^{−{ix}} \frac{\mathrm{1}}{\left({D}−{i}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{x}^{\mathrm{2}} \right\}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}{xe}^{−{x}} \mathrm{sin}\:{x} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}}{{i}}{e}^{−{x}} \left\{{e}^{{ix}} \frac{\mathrm{1}}{{D}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{iD}}{x}^{\mathrm{2}} −{e}^{−{ix}} \frac{\mathrm{1}}{{D}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{iD}}{x}^{\mathrm{2}} \right\}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}{xe}^{−{x}} \mathrm{sin}\:{x} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}{i}}{e}^{−{x}} \left\{{e}^{{ix}} \frac{\mathrm{1}}{{D}+\mathrm{2}{i}}{x}^{\mathrm{3}} −{e}^{−{ix}} \frac{\mathrm{1}}{{D}−\mathrm{2}{i}}{x}^{\mathrm{3}} \right\}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}{xe}^{−{x}} \mathrm{sin}\:{x} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}{e}^{−{x}} \left\{{e}^{{ix}} \left(\mathrm{1}−\frac{{D}}{\mathrm{2}{i}}−\frac{{D}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}}+\frac{{D}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{8}{i}}\right){x}^{\mathrm{3}} +{e}^{−{ix}} \left(\mathrm{1}+\frac{{D}}{\mathrm{2}{i}}−\frac{{D}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}}−\frac{{D}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{8}{i}}\right){x}^{\mathrm{3}} \right\}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}{xe}^{−{x}} \mathrm{sin}\:{x} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}{e}^{−{x}} \left\{{e}^{{ix}} \left({x}^{\mathrm{3}} −\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}{i}}{x}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}{x}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}{i}}\right)+{e}^{−{ix}} \left({x}^{\mathrm{3}} +\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}{i}}{x}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}{x}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}{i}}\right)\right\}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}{xe}^{−{x}} \mathrm{sin}\:{x} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}{e}^{−{x}} \left(\mathrm{2}{x}^{\mathrm{3}} \mathrm{cos}\:{x}−\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{sin}\:{x}−\mathrm{3}{x}\mathrm{cos}\:{x}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{sin}\:{x}\right)+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}{xe}^{−{x}} \mathrm{sin}\:{x} \\ $$$${y}={e}^{−{x}} \left({C}_{\mathrm{1}} \mathrm{sin}\:{x}+{C}_{\mathrm{2}} \mathrm{cos}\:{x}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}{e}^{−{x}} \left(\mathrm{2}{x}^{\mathrm{3}} \mathrm{cos}\:{x}−\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{sin}\:{x}−\mathrm{3}{x}\mathrm{cos}\:{x}\right)+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}{xe}^{−{x}} \mathrm{sin}\:{x} \\ $$
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$$\left(\mathrm{2}\right){y}_{{p}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{D}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{D}+\mathrm{1}}\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3sin}\:{x}\right) \\ $$$$=\left\{\mathrm{1}−\mathrm{2}{D}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{D}−\left(\mathrm{2}{D}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{D}\right)^{\mathrm{2}} …\right\}{x}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}{D}−\mathrm{1}}\mathrm{3sin}\:{x} \\ $$$$=\left(\mathrm{1}−\mathrm{3}{D}−\mathrm{11}{D}^{\mathrm{2}} −…\right){x}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{10}}\left(\mathrm{3}{D}+\mathrm{1}\right)\mathrm{sin}\:{x} \\ $$$$={x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6}{x}−\mathrm{22}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{10}}\left(\mathrm{3cos}\:{x}+\mathrm{sin}\:{x}\right) \\ $$$${y}={C}_{\mathrm{2}} {e}^{−{x}} +{C}_{\mathrm{2}} {e}^{−{x}/\mathrm{2}} +{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6}{x}−\mathrm{22}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{10}}\left(\mathrm{3cos}\:{x}+\mathrm{sin}\:{x}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{4}\right){y}_{{p}} =\frac{\mathrm{12}}{{D}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} {x}=\frac{\mathrm{6}}{{D}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\left(\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$=−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}+\mathrm{6} \\ $$$${y}={C}_{\mathrm{1}} \mathrm{sin}\:{x}+{C}_{\mathrm{2}} \mathrm{cos}\:{x}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}+\mathrm{6} \\ $$$$\left(\mathrm{5}\right){y}_{{p}} =\frac{\mathrm{2}}{{D}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{D}+\mathrm{2}}\left({x}^{\mathrm{2}} +{xe}^{{x}} \right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\frac{{D}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{D}}{\mathrm{2}}}{x}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{2}}{{D}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{D}+\mathrm{2}}{xe}^{{x}} \\ $$$$=\left\{\mathrm{1}−\frac{{D}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{D}}{\mathrm{2}}−\frac{\left({D}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{D}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}}−…\right\}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{e}^{{x}} \frac{\mathrm{1}}{{D}\left({D}−\mathrm{1}\right)}{x} \\ $$$$=\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}{D}−\frac{\mathrm{17}}{\mathrm{16}}{D}^{\mathrm{2}} −…\right){x}^{\mathrm{2}} +{e}^{{x}} \frac{\mathrm{1}}{{D}−\mathrm{1}}{x}^{\mathrm{2}} \\ $$$$={x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}−\frac{\mathrm{17}}{\mathrm{8}}+{e}^{{x}} \left(\mathrm{1}+{D}+{D}^{\mathrm{2}} +…\right){x}^{\mathrm{2}} \\ $$$$={x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}−\frac{\mathrm{17}}{\mathrm{8}}+{e}^{{x}} \left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}+\mathrm{2}\right) \\ $$$${y}={C}_{\mathrm{1}} {e}^{{x}} +{C}_{\mathrm{2}} {e}^{\mathrm{2}{x}} +{e}^{{x}} \left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}+\mathrm{2}\right) \\ $$
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$$\left(\mathrm{6}\right){y}_{{p}} =\frac{\mathrm{1}}{{D}^{\mathrm{3}} +{D}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{D}−\mathrm{5}}\left(\mathrm{5sin}\:\mathrm{2}{x}+\mathrm{10}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}+\mathrm{7}\right) \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{{D}+\mathrm{9}}\mathrm{5sin}\:\mathrm{2}{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\centerdot\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\left({D}^{\mathrm{3}} +{D}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{D}\right)}\left(\mathrm{10}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}+\mathrm{7}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{17}}\left({D}−\mathrm{9}\right)\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\left\{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\left({D}^{\mathrm{3}} +{D}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{D}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{25}}\left({D}^{\mathrm{3}} +{D}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{D}\right)^{\mathrm{2}} +…\right\}\left(\mathrm{10}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}+\mathrm{7}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{17}}\left(\mathrm{2cos}\:\mathrm{2}{x}−\mathrm{9sin}\:\mathrm{2}{x}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\left\{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{5}}{D}+\frac{\mathrm{14}}{\mathrm{25}}{D}^{\mathrm{2}} +…\right\}\left(\mathrm{10}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}+\mathrm{7}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{17}}\left(\mathrm{2cos}\:\mathrm{2}{x}−\mathrm{9sin}\:\mathrm{2}{x}\right)+\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}+\mathrm{4} \\ $$$${y}={C}_{\mathrm{1}} {e}^{{x}} +{e}^{−\mathrm{2}{x}} \left({C}_{\mathrm{2}} \mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}+{C}_{\mathrm{3}} \mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{17}}\left(\mathrm{2cos}\:\mathrm{2}{x}−\mathrm{9sin}\:\mathrm{2}{x}\right)+\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}+\mathrm{4} \\ $$$$\left(\mathrm{7}\right){y}_{{p}} =\frac{\mathrm{1}}{{D}^{\mathrm{3}} +{D}}\left(\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4sin}\:{x}\right)=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\frac{\mathrm{1}}{{D}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{x}^{\mathrm{3}} −\frac{\mathrm{1}}{{D}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\mathrm{4cos}\:{x} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\left(\mathrm{1}−{D}^{\mathrm{2}} −{D}^{\mathrm{4}} −…\right){x}^{\mathrm{3}} −{x}\frac{\mathrm{1}}{\left({D}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)'}\mathrm{4cos}\:{x} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\left({x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{6}{x}\right)−\mathrm{2}{x}\frac{\mathrm{1}}{{D}}\mathrm{cos}\:{x} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{4}{x}−\mathrm{2}{x}\mathrm{sin}\:{x} \\ $$$${y}={C}_{\mathrm{1}} +{C}_{\mathrm{2}} \mathrm{sin}\:{x}+{C}_{\mathrm{3}} \mathrm{cos}\:{x}−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{4}{x}−\mathrm{2}{x}\mathrm{sin}\:{x} \\ $$