Question Number 139954 by Ar Brandon last updated on 02/May/21
Answered by mr W last updated on 03/May/21
$${x}_{{n}+\mathrm{1}} =\frac{{x}_{{n}} −\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{1}}}{\mathrm{1}+{x}_{{n}} ×\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{1}}} \\ $$$${let}\:\mathrm{tan}\:{A}_{{n}} ={x}_{{n}} ,\:\mathrm{tan}\:{B}=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{1}}=\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}\:\Rightarrow{B}=\frac{\pi}{\mathrm{8}} \\ $$$$\mathrm{tan}\:{A}_{{n}+\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{tan}\:{A}_{{n}} −\mathrm{tan}\:{B}}{\mathrm{1}+\mathrm{tan}\:{A}_{{n}} \mathrm{tan}\:{B}}=\mathrm{tan}\:\left({A}_{{n}} −{B}\right) \\ $$$$\Rightarrow{A}_{{n}+\mathrm{1}} ={A}_{{n}} −{B}\:\:\rightarrow\:{it}'{s}\:{A}.{P}.\: \\ $$$$\Rightarrow{A}_{{n}} ={A}_{\mathrm{1}} −\left({n}−\mathrm{1}\right){B} \\ $$$$\Rightarrow{A}_{{n}} =\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} {x}_{\mathrm{1}} −\left({n}−\mathrm{1}\right)\frac{\pi}{\mathrm{8}} \\ $$$$\Rightarrow{A}_{{n}} =\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \mathrm{2014}−\frac{\left({n}−\mathrm{1}\right)\pi}{\mathrm{8}} \\ $$$$\Rightarrow{x}_{{n}} =\mathrm{tan}\left[\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \mathrm{2014}−\frac{\left({n}−\mathrm{1}\right)\pi}{\mathrm{8}}\right] \\ $$$$\Rightarrow{x}_{{n}} =\frac{\mathrm{2014}−\mathrm{tan}\:\frac{\left({n}−\mathrm{1}\right)\pi}{\mathrm{8}}}{\mathrm{1}+\mathrm{2014}\:\mathrm{tan}\:\frac{\left({n}−\mathrm{1}\right)\pi}{\mathrm{8}}} \\ $$$$\Rightarrow{x}_{\mathrm{2015}} =\frac{\mathrm{2014}−\mathrm{tan}\:\frac{\mathrm{2014}\pi}{\mathrm{8}}}{\mathrm{1}+\mathrm{2014}\:\mathrm{tan}\:\frac{\mathrm{2014}\pi}{\mathrm{8}}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2014}−\mathrm{tan}\:\left(\mathrm{252}\pi−\frac{\pi}{\mathrm{4}}\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{2014}\:\mathrm{tan}\:\left(\mathrm{252}\pi−\frac{\pi}{\mathrm{4}}\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2014}+\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{2014}}=−\frac{\mathrm{2015}}{\mathrm{2013}} \\ $$
Commented by Ar Brandon last updated on 04/May/21
$$\mathrm{Welldone}\:\mathrm{Sir}\:! \\ $$
Answered by mr W last updated on 03/May/21
$${an}\:{other}\:{way}: \\ $$$${let}\:{c}=\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{1} \\ $$$${x}_{{n}+\mathrm{1}} +{A}=\frac{{cx}_{{n}} −\mathrm{1}}{{c}+{x}_{{n}} }+{A}=\frac{\left({A}+{c}\right){x}_{{n}} +{Ac}−\mathrm{1}}{{c}+{x}_{{n}} } \\ $$$${x}_{{n}+\mathrm{1}} +{B}=\frac{{cx}_{{n}} −\mathrm{1}}{{c}+{x}_{{n}} }+{B}=\frac{\left({B}+{c}\right){x}_{{n}} +{Bc}−\mathrm{1}}{{c}+{x}_{{n}} } \\ $$$$\frac{{x}_{{n}+\mathrm{1}} +{A}}{{x}_{{n}+\mathrm{1}} +{B}}=\frac{{A}+{c}}{{B}+{c}}×\frac{{x}_{{n}} +\frac{{Ac}−\mathrm{1}}{{A}+{c}}}{{x}_{{n}} +\frac{{Bc}−\mathrm{1}}{{B}+{c}}} \\ $$$${let}\:\frac{{Ac}−\mathrm{1}}{{A}+{c}}={A} \\ $$$$−\mathrm{1}={A}^{\mathrm{2}} \\ $$$${A}={i},\:\Rightarrow{B}=−{i} \\ $$$$\left({or}\:{A}=−{i},\:\Rightarrow{B}={i}\right) \\ $$$$ \\ $$$$\frac{{x}_{{n}+\mathrm{1}} +{i}}{{x}_{{n}+\mathrm{1}} −{i}}=\frac{{c}+{i}}{{c}−{i}}×\frac{{x}_{{n}} +{i}}{{x}_{{n}} −{i}}\:\:\:\rightarrow{it}'{s}\:{G}.{P}. \\ $$$$\Rightarrow\frac{{x}_{{n}} +{i}}{{x}_{{n}} −{i}}=\left(\frac{{c}+{i}}{{c}−{i}}\right)^{{n}−\mathrm{1}} ×\frac{{x}_{\mathrm{1}} +{i}}{{x}_{\mathrm{1}} −{i}} \\ $$$${e}^{\left(\mathrm{2}\:\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{{x}_{{n}} }\right){i}} ={e}^{\left(\mathrm{2}\left({n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{{c}}\right){i}} {e}^{\mathrm{2}\left(\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{{x}_{\mathrm{1}} }\right){i}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{{x}_{{n}} }=\left({n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{{c}}+\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{{x}_{\mathrm{1}} } \\ $$$$\Rightarrow\frac{\pi}{\mathrm{2}}−\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} {x}_{{n}} =\left({n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{{c}}+\frac{\pi}{\mathrm{2}}−\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} {x}_{\mathrm{1}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} {x}_{{n}} =\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} {x}_{\mathrm{1}} −\left({n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{{c}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} {x}_{{n}} =\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \mathrm{2014}−\left({n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}\right) \\ $$$$\Rightarrow{x}_{{n}} =\mathrm{tan}\:\left[\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \mathrm{2014}−\left({n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}\right)\right] \\ $$$$\Rightarrow{x}_{{n}} =\mathrm{tan}\:\left[\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \mathrm{2014}−\frac{\left({n}−\mathrm{1}\right)\pi}{\mathrm{8}}\right] \\ $$$$\Rightarrow{x}_{\mathrm{2015}} =\mathrm{tan}\:\left[\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \mathrm{2014}−\frac{\mathrm{2014}\pi}{\mathrm{8}}\right] \\ $$$$=\mathrm{tan}\:\left[\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \mathrm{2014}+\frac{\pi}{\mathrm{4}}\right] \\ $$$$=\frac{\mathrm{2014}+\mathrm{tan}\left(\frac{\pi}{\mathrm{4}}\right)}{\mathrm{1}−\mathrm{2014}\:\mathrm{tan}\:\left(\frac{\pi}{\mathrm{4}}\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2014}+\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{2014}}=−\frac{\mathrm{2015}}{\mathrm{2013}} \\ $$