Question Number 140368 by meetbhavsar25 last updated on 06/May/21
Answered by benjo_mathlover last updated on 07/May/21
$$\mathrm{cos}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{3}+\mathrm{5cos}\:\mathrm{x}}{\mathrm{5}+\mathrm{3cos}\:\mathrm{x}}\right)\:=\:\mathrm{u} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{3}+\mathrm{5cos}\:\mathrm{x}}{\mathrm{5}+\mathrm{3cos}\:\mathrm{x}}\:=\:\mathrm{cos}\:\mathrm{u} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{3}+\mathrm{5cos}\:\mathrm{x}\:=\:\mathrm{5cos}\:\mathrm{u}+\mathrm{3cos}\:\mathrm{u}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{x} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{5}−\mathrm{3cos}\:\mathrm{u}\right)\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\:=\:\mathrm{5cos}\:\mathrm{u}−\mathrm{3} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\:=\:\frac{\mathrm{5cos}\:\mathrm{u}−\mathrm{3}}{\mathrm{5}−\mathrm{3cos}\:\mathrm{u}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2cos}\:^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)=\frac{\mathrm{5cos}\:\mathrm{u}−\mathrm{3}}{\mathrm{5}−\mathrm{3cos}\:\mathrm{u}}\:+\frac{\mathrm{5}−\mathrm{3cos}\:\mathrm{u}}{\mathrm{5}−\mathrm{3cos}\:\mathrm{u}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2cos}\:^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)=\:\frac{\mathrm{2cos}\:\mathrm{u}+\mathrm{2}}{\mathrm{5}−\mathrm{3cos}\:\mathrm{u}} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{sec}\:^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)=\:\frac{\mathrm{5}−\mathrm{3cos}\:\mathrm{u}}{\mathrm{2cos}\:\mathrm{u}+\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{sec}\:^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)\:=\:\frac{\mathrm{5}−\mathrm{3cos}\:\mathrm{u}}{\mathrm{cos}\:\mathrm{u}+\mathrm{1}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)=\:\frac{\mathrm{5}−\mathrm{3cos}\:\mathrm{u}}{\mathrm{cos}\:\mathrm{u}+\mathrm{1}}\:−\frac{\mathrm{cos}\:\mathrm{u}+\mathrm{1}}{\mathrm{cos}\:\mathrm{u}+\mathrm{1}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)=\frac{\mathrm{4}−\mathrm{4cos}\:\mathrm{u}}{\mathrm{1}+\mathrm{cos}\:\mathrm{u}}\:=\:\frac{\mathrm{4}\left(\mathrm{1}−\left(\mathrm{1}−\mathrm{2sin}\:^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{u}}{\mathrm{2}}\right)\right)\right.}{\mathrm{2cos}\:^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{u}}{\mathrm{2}}\right)} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{4}\:\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{u}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{tan}\:\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)=\:\mathrm{2tan}\:\left(\frac{\mathrm{u}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{u}}{\mathrm{2}}\:=\:\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{tan}\:\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{u}\:=\:\mathrm{2tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{tan}\:\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$
Commented by meetbhavsar25 last updated on 07/May/21
$$\mathrm{cos}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{3}+\mathrm{5cos}\:\mathrm{x}}{\mathrm{5}+\mathrm{3cos}\:\mathrm{x}}\right)\:=\:\mathrm{u} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{3}+\mathrm{5cos}\:\mathrm{x}}{\mathrm{5}+\mathrm{3cos}\:\mathrm{x}}\:=\:\mathrm{cos}\:\mathrm{u} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{3}+\mathrm{5cos}\:\mathrm{x}\:=\:\mathrm{5cos}\:\mathrm{u}+\mathrm{3cos}\:\mathrm{u}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{x} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{5}−\mathrm{3cos}\:\mathrm{u}\right)\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\:=\:\mathrm{5cos}\:\mathrm{u}−\mathrm{3} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\:=\:\frac{\mathrm{5cos}\:\mathrm{u}−\mathrm{3}}{\mathrm{5}−\mathrm{3cos}\:\mathrm{u}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2cos}\:^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)=\frac{\mathrm{5cos}\:\mathrm{u}−\mathrm{3}}{\mathrm{5}−\mathrm{3cos}\:\mathrm{u}}\:+\frac{\mathrm{5}−\mathrm{3cos}\:\mathrm{u}}{\mathrm{5}−\mathrm{3cos}\:\mathrm{u}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2cos}\:^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)=\:\frac{\mathrm{2cos}\:\mathrm{u}+\mathrm{2}}{\mathrm{5}−\mathrm{3cos}\:\mathrm{u}} \\ $$$${Thank}\:{you}…{much}\:{appreciated} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{sec}\:^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)=\:\frac{\mathrm{5}−\mathrm{3cos}\:\mathrm{u}}{\mathrm{2cos}\:\mathrm{u}+\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{sec}\:^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)\:=\:\frac{\mathrm{5}−\mathrm{3cos}\:\mathrm{u}}{\mathrm{cos}\:\mathrm{u}+\mathrm{1}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)=\:\frac{\mathrm{5}−\mathrm{3cos}\:\mathrm{u}}{\mathrm{cos}\:\mathrm{u}+\mathrm{1}}\:−\frac{\mathrm{cos}\:\mathrm{u}+\mathrm{1}}{\mathrm{cos}\:\mathrm{u}+\mathrm{1}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)=\frac{\mathrm{4}−\mathrm{4cos}\:\mathrm{u}}{\mathrm{1}+\mathrm{cos}\:\mathrm{u}}\:=\:\frac{\mathrm{4}\left(\mathrm{1}−\left(\mathrm{1}−\mathrm{2sin}\:^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{u}}{\mathrm{2}}\right)\right)\right.}{\mathrm{2cos}\:^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{u}}{\mathrm{2}}\right)} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{4}\:\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{u}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{tan}\:\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)=\:\mathrm{2tan}\:\left(\frac{\mathrm{u}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{u}}{\mathrm{2}}\:=\:\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{tan}\:\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{u}\:=\:\mathrm{2tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{tan}\:\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$${Thank}\:{you} \\ $$
Commented by meetbhavsar25 last updated on 07/May/21
$${I}\:{found}\:{a}\:{simpler}\:{method}…. \\ $$$$\mathrm{cos}^{−\mathrm{1}} \left\{\frac{\mathrm{3}+\mathrm{5cos}\:{x}}{\mathrm{5}+\mathrm{3cos}\:{x}}\right\}\:=\:{y} \\ $$$$\frac{\mathrm{cos}\:{y}}{\mathrm{1}}\:=\:\frac{\mathrm{3}+\mathrm{5cos}\:{x}}{\mathrm{5}+\mathrm{3cos}\:{x}} \\ $$$$\frac{\mathrm{cos}\:{y}+\mathrm{1}}{\mathrm{cos}\:{y}−\mathrm{1}}\:=\:\frac{\mathrm{8}+\mathrm{8cos}\:{x}}{\mathrm{2cos}\:{x}−\mathrm{2}}\:\left({using}\:{componendo}−{dividendo}\right) \\ $$$$\frac{\mathrm{2cos}\:^{\mathrm{2}} \frac{{y}}{\mathrm{2}}}{−\mathrm{2sin}\:^{\mathrm{2}} \frac{{y}}{\mathrm{2}}}\:=\:\frac{\mathrm{8}×\mathrm{2cos}\:^{\mathrm{2}} \frac{{x}}{\mathrm{2}}}{−\mathrm{2}×\mathrm{2sin}\:^{\mathrm{2}} \frac{{x}}{\mathrm{2}}} \\ $$$$\mathrm{cot}\:^{\mathrm{2}} \frac{{y}}{\mathrm{2}}\:=\:\mathrm{4}\:×\:\mathrm{cot}\:^{\mathrm{2}} \frac{{x}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} \frac{{x}}{\mathrm{2}}\:=\:\mathrm{4}\:×\:\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} \frac{{y}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{tan}\:\frac{{x}}{\mathrm{2}}\:=\:\mathrm{2}\:×\:\mathrm{tan}\:\frac{{y}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{tan}\:\frac{{y}}{\mathrm{2}}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{tan}\:\frac{{x}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\frac{{y}}{\mathrm{2}}\:=\:\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left\{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{tan}\:\frac{{x}}{\mathrm{2}}\right\} \\ $$$${y}\:=\:\mathrm{2tan}^{−\mathrm{1}} \left\{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{tan}\:\frac{{x}}{\mathrm{2}}\right\} \\ $$