Question Number 140603 by BHOOPENDRA last updated on 10/May/21
Commented by BHOOPENDRA last updated on 10/May/21
$${mr}.{W}\:{sir}? \\ $$
Answered by mr W last updated on 10/May/21
$$\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$${m}_{\mathrm{1}} {v}_{\mathrm{1}} \mathrm{sin}\:\theta_{\mathrm{1}} ={m}_{\mathrm{2}} {v}_{\mathrm{2}} \mathrm{sin}\:\theta_{\mathrm{2}} \\ $$$${m}_{\mathrm{1}} {v}_{\mathrm{1}} \mathrm{cos}\:\theta_{\mathrm{1}} +{m}_{\mathrm{2}} {v}_{\mathrm{2}} \mathrm{cos}\:\theta_{\mathrm{2}} ={m}_{\mathrm{1}} {u} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{m}_{\mathrm{1}} {v}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{m}_{\mathrm{2}} {v}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{m}_{\mathrm{1}} {u}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{sin}\:\theta_{\mathrm{2}} =\frac{{m}_{\mathrm{1}} {v}_{\mathrm{1}} \mathrm{sin}\:\theta_{\mathrm{1}} }{{m}_{\mathrm{2}} {v}_{\mathrm{2}} }\:\:\:…\left({i}\right) \\ $$$$\mathrm{cos}\:\theta_{\mathrm{2}} =\frac{{m}_{\mathrm{1}} \left({u}−{v}_{\mathrm{1}} \mathrm{cos}\:\theta_{\mathrm{1}} \right)}{{m}_{\mathrm{2}} {v}_{\mathrm{2}} }\:\:\:…\left({ii}\right) \\ $$$$\mathrm{tan}\:\theta_{\mathrm{2}} =\frac{{v}_{\mathrm{1}} \mathrm{sin}\:\theta_{\mathrm{1}} }{{u}−{v}_{\mathrm{1}} \mathrm{cos}\:\theta_{\mathrm{1}} }\:\:\:…\left({iii}\right) \\ $$$$\frac{{m}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} {v}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:\theta_{\mathrm{1}} }{{m}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} {v}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} }+\frac{{m}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \left({u}−{v}_{\mathrm{1}} \mathrm{cos}\:\theta_{\mathrm{1}} \right)^{\mathrm{2}} }{{m}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} {v}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} }=\mathrm{1} \\ $$$${m}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} {v}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} +{m}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} {u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{m}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} {uv}_{\mathrm{1}} \mathrm{cos}\:\theta_{\mathrm{1}} ={m}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} {v}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} \\ $$$${m}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} {v}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} +{m}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} {u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{m}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} {uv}_{\mathrm{1}} \mathrm{cos}\:\theta_{\mathrm{1}} ={m}_{\mathrm{2}} {m}_{\mathrm{1}} \left({u}^{\mathrm{2}} −{v}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \right) \\ $$$${v}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} +{u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{uv}_{\mathrm{1}} \mathrm{cos}\:\theta_{\mathrm{1}} =\left({u}^{\mathrm{2}} −{v}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \right)\frac{{m}_{\mathrm{2}} }{{m}_{\mathrm{1}} } \\ $$$$\mathrm{cos}\:\theta_{\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left[\frac{{v}_{\mathrm{1}} }{{u}}\left(\mathrm{1}+\frac{{m}_{\mathrm{2}} }{{m}_{\mathrm{1}} }\right)+\frac{{u}}{{v}_{\mathrm{1}} }\left(\mathrm{1}−\frac{{m}_{\mathrm{2}} }{{m}_{\mathrm{1}} }\right)\right] \\ $$$${let}\:{k}=\frac{{m}_{\mathrm{2}} }{{m}_{\mathrm{1}} }<\mathrm{1},\:\lambda=\frac{{v}_{\mathrm{1}} }{{u}} \\ $$$$\mathrm{cos}\:\theta_{\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left[\lambda\left(\mathrm{1}+{k}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\lambda}\left(\mathrm{1}−{k}\right)\right]\:\:\:…\left({iv}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\geqslant\sqrt{\mathrm{1}−{k}^{\mathrm{2}} } \\ $$$${i}.{e}.\:\theta_{\mathrm{1}} \leqslant\mathrm{cos}^{−\mathrm{1}} \sqrt{\mathrm{1}−{k}^{\mathrm{2}} }=\mathrm{cos}^{−\mathrm{1}} \sqrt{\mathrm{1}−\left(\frac{{m}_{\mathrm{2}} }{{m}_{\mathrm{1}} }\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$${or}\:\theta_{\mathrm{1},{max}} =\mathrm{cos}^{−\mathrm{1}} \sqrt{\mathrm{1}−\left(\frac{{m}_{\mathrm{2}} }{{m}_{\mathrm{1}} }\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$
Commented by mr W last updated on 10/May/21
$$\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\mathrm{tan}\:\theta_{\mathrm{2}} =\frac{{v}_{\mathrm{1}} \mathrm{sin}\:\theta_{\mathrm{1}} }{{u}−{v}_{\mathrm{1}} \mathrm{cos}\:\theta_{\mathrm{1}} } \\ $$$$\theta_{\mathrm{1}} =\mathrm{90}° \\ $$$$\mathrm{tan}\:\theta_{\mathrm{2}} =\frac{{v}_{\mathrm{1}} }{{u}}=\lambda \\ $$$$\mathrm{cos}\:\theta_{\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left[\lambda\left(\mathrm{1}+{k}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\lambda}\left(\mathrm{1}−{k}\right)\right]=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\lambda\left({k}+\mathrm{1}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\lambda}\left({k}−\mathrm{1}\right) \\ $$$$\Rightarrow\lambda^{\mathrm{2}} =\frac{{k}−\mathrm{1}}{{k}+\mathrm{1}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{tan}\:\theta_{\mathrm{2}} =\lambda=\sqrt{\frac{{k}−\mathrm{1}}{{k}+\mathrm{1}}} \\ $$$$\Rightarrow\theta_{\mathrm{2}} =\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \sqrt{\frac{{k}−\mathrm{1}}{{k}+\mathrm{1}}}=\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \sqrt{\frac{{m}_{\mathrm{2}} −{m}_{\mathrm{1}} }{{m}_{\mathrm{2}} +{m}_{\mathrm{1}} }} \\ $$
Commented by mr W last updated on 10/May/21
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$${thanks}\:{sir} \\ $$