Question Number 141124 by iloveisrael last updated on 16/May/21
Answered by bobhans last updated on 16/May/21
Answered by EDWIN88 last updated on 16/May/21
$$\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{x}\right)+\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}.\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{sin}\:\mathrm{x}\right)−\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}^{\mathrm{4}} }{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} } \\ $$$$=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}.\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{−\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{sin}\:\mathrm{x}\right)−\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} } \\ $$$$=\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}.\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{sin}\:\mathrm{x}\right)−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} } \\ $$$$=\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}.\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{x}−\frac{\mathrm{sin}\:^{\mathrm{3}} \mathrm{x}}{\mathrm{6}}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} } \\ $$$$=\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}.\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}{\mathrm{6}}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} } \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}.\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{6}}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}{\mathrm{3}}\right)−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} } \\ $$$$=\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}.\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{3}}\right)\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{3}}\right)−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} } \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}.\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} } \\ $$$$=\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}.\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{3}}\right)−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} } \\ $$$$=\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}.\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\cancel{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{2x}^{\mathrm{4}} }{\mathrm{3}}−\cancel{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} }=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}.\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{x}^{\mathrm{4}} }{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} } \\ $$$$=\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\divideontimes\: \\ $$