Question Number 142191 by iloveisrael last updated on 27/May/21
Commented by Mathspace last updated on 27/May/21
$${why}\:{tan}\left(\frac{{x}}{\mathrm{2}}\right)={i}+\frac{\mathrm{2}{i}}{\mathrm{1}+{e}^{{ix}} }\:? \\ $$$${and}\:{what}\:{is}\:{value}\:{of}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}\pi} \:\frac{{sin}\left({nx}\right)}{\mathrm{1}+{e}^{{ix}} }{dx} \\ $$$${all}\:{this}\:{need}\:{proof}… \\ $$
Commented by MJS_new last updated on 28/May/21
![typo tan (x/2) =−i+((2i)/(1+e^(ix) )) proof: tan y =((sin y)/(cos y))=(((e^(iy) −e^(−iy) )/(2i))/((e^(iy) +e^(−iy) )/2))=−i((e^(2iy) −1)/(e^(2iy) +1))=−i(1−(2/(e^(2iy) +1)))= [y=(x/2)] =−i+(2/(1+e^(ix) ))](https://www.tinkutara.com/question/Q142224.png)
$$\mathrm{typo} \\ $$$$\mathrm{tan}\:\frac{{x}}{\mathrm{2}}\:=−\mathrm{i}+\frac{\mathrm{2i}}{\mathrm{1}+\mathrm{e}^{\mathrm{i}{x}} } \\ $$$$\mathrm{proof}: \\ $$$$\mathrm{tan}\:{y}\:=\frac{\mathrm{sin}\:{y}}{\mathrm{cos}\:{y}}=\frac{\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}{y}} −\mathrm{e}^{−\mathrm{i}{y}} }{\mathrm{2i}}}{\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}{y}} +\mathrm{e}^{−\mathrm{i}{y}} }{\mathrm{2}}}=−\mathrm{i}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{2i}{y}} −\mathrm{1}}{\mathrm{e}^{\mathrm{2i}{y}} +\mathrm{1}}=−\mathrm{i}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{e}^{\mathrm{2i}{y}} +\mathrm{1}}\right)= \\ $$$$\:\:\:\:\:\left[{y}=\frac{{x}}{\mathrm{2}}\right] \\ $$$$=−\mathrm{i}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{1}+\mathrm{e}^{\mathrm{i}{x}} } \\ $$
Commented by iloveisrael last updated on 27/May/21
Answered by mathmax by abdo last updated on 28/May/21
![A_n =∫_0 ^(2π) log(1+cosx)cos(nx)dx by parts we get A_n =[(1/n)sin(nx)log(1+cosx)]_0 ^(2π) −∫_0 ^(2π) (1/n)sin(nx)×((−sinx)/(1+cosx))dx =(1/n)∫_0 ^(2π) ((sinx .sin(nx))/(1+cosx))dx ⇒nA_n =∫_0 ^(2π) ((sinx.sin(nx))/(1+cosx))dx =∫_0 ^(2π) ((e^(ix) −e^(−ix) )/(2i)).((e^(inx) −e^(−inx) )/(2i)).(1/(1+((e^(ix) +e^(−ix) )/2)))dx =−(1/2)∫_0 ^(2π) (((e^(ix) −e^(−ix) )(e^(inx) −e^(−inx) ))/(2+e^(ix) +e^(−ix) ))dx =_(e^(ix) =z) −(1/2)∫_(∣z∣=1) (((z−z^(−1) )(z^n −z^(−n) ))/((2+z+z^(−1) )))(dz/(iz)) =(i/2)∫_(∣z∣=1) ((z^(n+1) −z^(−n+1) −z^(n−1) −z^(−n−1) )/((z+1)^2 ))dz =(i/2)(2iπ)Res(ϕ,−1) with ϕ(z)=((z^(n+1) −z^(−n+1) −z^(n−1) −z^(−n−1) )/((z+1)^2 )) Res(ϕ,−1)=lim_(z→−1) (1/((2−1)!)){(z+1)^2 }ϕ(z)}^((1)) =lim_(z→−1) {z^(n+1) −z^(−n+1) −z^(n−1) −z^(−n−1) }^((1)) =lim_(z→−1) (n+1)z^n −(−n+1)z^(−n) −(n−1)z^(n−2) +(n+1)z^(−n−2) =(n+1)(−1)^n +(n−1)(−1)^n −(n−1)(−1)^n +(n+1)(−1)^n =(−1)^n {n+1+n−1−n+1+n+1} =(2n+2)(−1)^n ⇒nA_n =−π(2n+2)(−1)^n ⇒ A_n =((2π(n+1)(−1)^(n−1) )/n)( n≥1)](https://www.tinkutara.com/question/Q142244.png)
$$\mathrm{A}_{\mathrm{n}} =\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}\pi} \mathrm{log}\left(\mathrm{1}+\mathrm{cosx}\right)\mathrm{cos}\left(\mathrm{nx}\right)\mathrm{dx}\:\:\mathrm{by}\:\mathrm{parts}\:\mathrm{we}\:\mathrm{get} \\ $$$$\mathrm{A}_{\mathrm{n}} =\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{nx}\right)\mathrm{log}\left(\mathrm{1}+\mathrm{cosx}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}\pi} −\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}\pi} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{nx}\right)×\frac{−\mathrm{sinx}}{\mathrm{1}+\mathrm{cosx}}\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}\pi} \:\frac{\mathrm{sinx}\:.\mathrm{sin}\left(\mathrm{nx}\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{cosx}}\mathrm{dx}\:\Rightarrow\mathrm{nA}_{\mathrm{n}} =\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}\pi} \:\frac{\mathrm{sinx}.\mathrm{sin}\left(\mathrm{nx}\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{cosx}}\mathrm{dx} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}\pi} \:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} −\mathrm{e}^{−\mathrm{ix}} }{\mathrm{2i}}.\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{inx}} −\mathrm{e}^{−\mathrm{inx}} }{\mathrm{2i}}.\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} \:+\mathrm{e}^{−\mathrm{ix}} }{\mathrm{2}}}\mathrm{dx} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}\pi} \frac{\left(\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} −\mathrm{e}^{−\mathrm{ix}} \right)\left(\mathrm{e}^{\mathrm{inx}} −\mathrm{e}^{−\mathrm{inx}} \right)}{\mathrm{2}+\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} +\mathrm{e}^{−\mathrm{ix}} }\mathrm{dx} \\ $$$$=_{\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} \:=\mathrm{z}} \:\:\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mid\mathrm{z}\mid=\mathrm{1}} \:\:\:\frac{\left(\mathrm{z}−\mathrm{z}^{−\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{z}^{\mathrm{n}} −\mathrm{z}^{−\mathrm{n}} \right)}{\left(\mathrm{2}+\mathrm{z}+\mathrm{z}^{−\mathrm{1}} \right)}\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{iz}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{2}}\int_{\mid\mathrm{z}\mid=\mathrm{1}} \:\:\:\frac{\mathrm{z}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{z}^{−\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{z}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} −\mathrm{z}^{−\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\left(\mathrm{z}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dz} \\ $$$$=\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{2i}\pi\right)\mathrm{Res}\left(\varphi,−\mathrm{1}\right)\:\mathrm{with}\:\varphi\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\mathrm{z}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{z}^{−\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{z}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} −\mathrm{z}^{−\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\left(\mathrm{z}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\left.\mathrm{Res}\left(\varphi,−\mathrm{1}\right)=\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}−\mathrm{1}\right)!}\left\{\left(\mathrm{z}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \right\}\varphi\left(\mathrm{z}\right)\right\}^{\left(\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow−\mathrm{1}} \:\:\:\left\{\mathrm{z}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{z}^{−\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{z}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} −\mathrm{z}^{−\mathrm{n}−\mathrm{1}} \right\}^{\left(\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow−\mathrm{1}} \left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{z}^{\mathrm{n}} −\left(−\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{z}^{−\mathrm{n}} −\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{z}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} +\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{z}^{−\mathrm{n}−\mathrm{2}} \\ $$$$=\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} +\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:−\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:+\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \\ $$$$=\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \left\{\mathrm{n}+\mathrm{1}+\mathrm{n}−\mathrm{1}−\mathrm{n}+\mathrm{1}+\mathrm{n}+\mathrm{1}\right\} \\ $$$$=\left(\mathrm{2n}+\mathrm{2}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\Rightarrow\mathrm{nA}_{\mathrm{n}} =−\pi\left(\mathrm{2n}+\mathrm{2}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{A}_{\mathrm{n}} =\frac{\mathrm{2}\pi\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{n}}\left(\:\mathrm{n}\geqslant\mathrm{1}\right) \\ $$