Question Number 143031 by rs4089 last updated on 09/Jun/21
Answered by mnjuly1970 last updated on 09/Jun/21
$$\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}+{ln}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}\right)…. \\ $$
Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 09/Jun/21
$${S}=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}{H}_{{n}} ^{\mathrm{2}} {x}^{{n}} ={H}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} {x}+{H}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} {x}^{\mathrm{2}} +{H}_{\mathrm{3}} {x}^{\mathrm{3}} +… \\ $$$${S}\left(\mathrm{1}−{x}\right)={x}+\left({H}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} −{H}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \right){x}^{\mathrm{2}} +\left({H}_{\mathrm{3}} ^{\mathrm{2}} −{H}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} \right){x}^{\mathrm{3}} +… \\ $$$${S}\left(\mathrm{1}−{x}\right)={x}+\frac{{H}_{\mathrm{2}} +{H}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{2}}{x}^{\mathrm{2}} +\frac{{H}_{\mathrm{2}} +{H}_{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}}{x}^{\mathrm{3}} +…\:\:\:\:{H}_{{n}−\mathrm{1}} ={H}_{{n}} −\frac{\mathrm{1}}{{n}} \\ $$$${S}\left(\mathrm{1}−{x}\right)=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{H}_{{n}} +{H}_{{n}−\mathrm{1}} }{{n}}{x}^{{n}} =\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{2}{H}_{{n}} −\frac{\mathrm{1}}{{n}}}{{n}}{x}^{{n}} \\ $$$$\Rightarrow{S}\left(\mathrm{1}−{x}\right)=\mathrm{2}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{H}_{{n}} }{{n}}{x}^{{n}} −\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{{n}} }{{n}^{\mathrm{2}} }\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}{H}_{{n}} {x}^{{n}−\mathrm{1}} =−\frac{{log}\left(\mathrm{1}−{x}\right)}{{x}\left(\mathrm{1}−{x}\right)} \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{H}_{{n}} }{{n}\mathrm{2}^{{n}} }=−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}/\mathrm{2}} \frac{{log}\left(\mathrm{1}−{x}\right)}{{x}}{dx}−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}/\mathrm{2}} \frac{{log}\left(\mathrm{1}−{x}\right)}{\mathrm{1}−{x}}{dx} \\ $$$$={Li}_{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{log}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}\right) \\ $$$${Li}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−{x}\right)+{Li}_{\mathrm{2}} \left({x}\right)=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{log}\left({x}\right){log}\left(\mathrm{1}−{x}\right) \\ $$$$\Rightarrow{Li}_{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{log}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}\right) \\ $$$${S}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{2}\left({Li}_{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)+{log}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}\right)\right)−{Li}_{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$${S}=\mathrm{2}{Li}_{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)+\mathrm{2}{log}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}\right)=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}+{log}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$ \\ $$
Commented by mnjuly1970 last updated on 09/Jun/21
$${greate}…. \\ $$