Question Number 66866 by rajesh4661kumar@gmail.com last updated on 20/Aug/19
Commented by mathmax by abdo last updated on 20/Aug/19
$${first}\:\:{x}+\sqrt{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} }>\mathrm{0}\:\:{for}\:{all}\:{x}\:{so}\:{y}={ln}\left({x}+\sqrt{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} }\right)={argsh}\left({x}\right)\:\Rightarrow \\ $$$${y}^{'} \left({x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} }}\:=\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} \right)^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \:\Rightarrow{y}^{''} \left({x}\right)=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{2}{x}\right)\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} \right)^{−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}} \\ $$$$=\frac{−{x}}{\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}} }\:\Rightarrow\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right){y}^{''} \:+{xy}'=\left({x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)\frac{−{x}}{\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}} }\:+\frac{{x}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} }} \\ $$$$=\frac{−{x}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} }}+\frac{{x}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} }}\:=\mathrm{0}\:\:\:{so}\:{the}\:{Q}\:{must}\:{be}\:\:\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right){y}^{''} \:+{xy}^{'} =\mathrm{0} \\ $$$$ \\ $$
Answered by Kunal12588 last updated on 20/Aug/19
$${y}={log}\left({x}+\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\right) \\ $$$$\Rightarrow{y}'=\frac{\mathrm{1}}{{x}+\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}×\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{2}{x}}{\mathrm{2}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}\right) \\ $$$$\Rightarrow{y}'=\frac{\mathrm{1}}{{x}+\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}×\left(\frac{{x}+\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}{\:\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}\right) \\ $$$$\Rightarrow{y}'=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}} \\ $$$$\Rightarrow{y}'\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}=\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}×{y}''+{y}'×\frac{\mathrm{2}{x}}{\mathrm{2}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right){y}''+{xy}'=\mathrm{0} \\ $$