Question Number 67122 by sandeepkeshari0797@gmail.com last updated on 23/Aug/19
Answered by Cmr 237 last updated on 23/Aug/19
$$\mathrm{y}_{\mathrm{n}+\mathrm{2}} −\mathrm{2y}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} +\mathrm{y}_{\mathrm{n}} −\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \mathrm{2}^{\mathrm{n}} =\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{l}'\mathrm{equation}\:\mathrm{caracteristique}\:\mathrm{est}: \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{1}−\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \mathrm{2}^{\mathrm{n}} =\mathrm{0} \\ $$$$\Delta=\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{x}_{\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{2}−\mathrm{n}\sqrt{\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{2}} }}{\mathrm{2}}\:\mathrm{et}\:\mathrm{x}_{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{2}+\mathrm{n}\sqrt{\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{2}} }}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{d}'\mathrm{ou};\mathrm{y}_{\mathrm{n}} =\alpha\mathrm{x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} +\beta\mathrm{x}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{with}\:\alpha,\beta\in\mathbb{R}/ \\ $$$$\begin{cases}{\alpha+\beta=\mathrm{y}_{\mathrm{0}} }\\{\alpha\mathrm{x}_{\mathrm{1}} +\beta\mathrm{x}_{\mathrm{2}} =\mathrm{y}_{\mathrm{1}} }\end{cases} \\ $$