Question Number 67371 by TawaTawa last updated on 26/Aug/19
Answered by mind is power last updated on 26/Aug/19
$${a}^{\mathrm{2}} \mathrm{3}{b}={b}^{\mathrm{3}} +\mathrm{9}\sqrt{\mathrm{3}}…\mathrm{1} \\ $$$${b}^{\mathrm{2}} \mathrm{3}{a}={a}^{\mathrm{3}} −\mathrm{10}….\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{3}{bc}^{\mathrm{2}} ={b}^{\mathrm{3}} +\mathrm{45}\sqrt{\mathrm{3}}…\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{3}{cb}^{\mathrm{2}} ={c}^{\mathrm{3}} +\mathrm{28}…\mathrm{4} \\ $$$$\mathrm{3}{ac}^{\mathrm{2}} ={a}^{\mathrm{3}} −\mathrm{88}…\mathrm{5} \\ $$$$\mathrm{3}{ca}^{\mathrm{2}} ={c}^{\mathrm{3}} +\mathrm{16}…\mathrm{6} \\ $$$$..\mathrm{1}−{i}..\mathrm{2}\Rightarrow{b}^{\mathrm{3}} −{ia}^{\mathrm{3}} +\mathrm{9}\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{10}{i}=\mathrm{3}{ba}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{iab}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow{b}^{\mathrm{3}} −{ia}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}{ba}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\left({ia}\right){b}=−\mathrm{9}\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{10}{i} \\ $$$$\Rightarrow\left({b}+{ia}\right)^{\mathrm{3}} =−\mathrm{9}\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{10}{i}=\mathrm{7}\sqrt{\mathrm{7}}\left(\frac{−\mathrm{9}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{7}\sqrt{\mathrm{7}}}−\frac{\mathrm{10}{i}}{\mathrm{7}\sqrt{\mathrm{7}}}\right)=\mathrm{7}\sqrt{\mathrm{7}}{e}^{{i}\left(\frac{{b}+\mathrm{2}{k}\pi}{}\right)} \\ $$$${sam}\:{idea}\:{giv}\:{us}\: \\ $$$$ \\ $$$$\left({a}+{ic}\right)^{\mathrm{3}} =\mathrm{88}−\mathrm{16}{i}=\mathrm{8}\left(\mathrm{11}−\mathrm{2}{i}\right)=\mathrm{40}\sqrt{\mathrm{5}}\left(\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{5}\sqrt{\mathrm{5}}}−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}\sqrt{\mathrm{5}}}{i}\right)=\left(\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}\right)^{\mathrm{3}} {e}^{{ia}+\mathrm{2}{k}\pi} \\ $$$$\Rightarrow\:{a}+{ic}=\left(\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}\right){e}^{{i}\left(\frac{{a}+\mathrm{2}{k}\pi}{\mathrm{3}}\right)} \\ $$$${bee}\:{continued}\: \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$